Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму, розташовану нижче
Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.
HTML-версії роботи поки що немає.
Завантажити архів роботи можна перейшовши за посиланням, яке знаходиться нижче.
Подібні документи
- науковості;
- наочності;
- диференційованого підходу;
- активність учнів;
- навчити застосовувати математичні знання у повсякденному практичному житті.
- “Провішування прямий біля” (п.2),
- "Вимірювальні інструменти" (п.8),
- “Вимірювання кутів біля” (п.10),
- "Побудова прямих кутів на території" (п.13),
- “Завдання на побудову. Окружність” (п.21),
- “Практичні методи побудови паралельних прямих” (п.26),
- "Кутковий відбивач" (п.36),
- “Відстань між паралельними прямими” (п.37 – рейсмус),
- "Побудова трикутника за трьома елементами" (п.38)
- "Практичні додатки подібності трикутників" (п.64 - визначення висоти предмета, визначення відстані до недоступної точки)
- "Вимірювальні роботи" (п.100 - вимірювання висоти предмета, вимірювання відстані до недоступної точки).
- практичне застосування теоретичних знань учнів;
- активізація пізнавальної діяльності учнів;
- розширення кругозору учнів;
- підвищення інтересу до предмета;
- розвиток кмітливості, допитливості, логічного та творчого мислення;
- формування якостей мислення, характерних для математичної діяльностіта необхідні для продуктивного життя в суспільстві.
- взаємозв'язку теорії із практикою;
- науковості;
- наочності;
- обліку вікових та індивідуальних особливостей учнів;
- поєднання колективної та індивідуальної діяльності учасників;
- диференційованого підходу;
- активність учнів;
- самостійність учнів у виконанні завдань;
- практичне застосування математичних знань;
- рівень творчих здібностей учасників.
- підключити, розбудити та розвинути потенційні здібності учнів;
- виявити найбільш активних та здібних учасників;
- виховувати моральні якості особистості: працьовитість, завзятість у досягненні мети, відповідальність та самостійність.
- навчити застосовувати математичні знання у повсякденному практичному житті;
- поводитися з різними приладами, інструментами, обчислювальною технікою, довідниками та таблицями.
- Рулетка - стрічка, з нанесеними на ній поділками, призначена для вимірювання відстані на території.
- Екер – прилад побудови прямих кутів біля.
- Астролябія – прилад вимірювання кутів біля.
- Віхи (вішки) – коли, які вбивають у землю.
- Землемірний циркуль (польовий циркуль – сажень) – інструмент у вигляді літери А заввишки 1,37 м та шириною 2 м. для вимірювання відстані на місцевості, для учнів зручніше відстань між ніжками взяти 1 метр.
- вимірювання заданих кутів,
- побудова кутів заданого градусного заходу,
- побудова трикутника за трьома елементами – з обох боків і двом прилеглим до неї кутам, з обох боків і розі між ними.
- виміряти висоту предмета;
- відстань до недоступної точки (ширина річки).
- Атанасян Л.С. Геометрія 7-9. - Москва: Просвітництво, 2000 р.
Поняття та класифікація кутів, позитивні та негативні кути. Вимірювання кутів дугами кола. Одиниці їх вимірювання при використанні градусних та радіанних заходів. Характеристики кутів: між похилою та площиною, двома площинами, двогранною.
реферат, доданий 18.08.2011
дипломна робота , доданий 01.12.2007
Видатний діяч Середньовіччя, універсальний вчений-енциклопедист Абу Райхан Мухаммад ібн Ахмад аль-Беруні у своїй праці "Гномоніка" докладно зупиняється на вимірі відстані на Землі та висоти гір завдання і наводить способи їх вирішення.
реферат, доданий 25.03.2008
Кути та їх вимір, тригонометричні функції гострого кута. Властивості та знаки тригонометричних функцій. Парні та непарні функції. Зворотні тригонометричні функції. Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь та нерівностей за допомогою формул.
навчальний посібник, доданий 30.12.2009
Використання різноманітних способів вимірювання відстані у країнах світу. Характеристика системи заходів Стародавню Русь: вершок, п'ядь, пуд, аршин, сажень та верста. Розробка метричної системи. Заходи площі та довжини в Єгипті, Ізраїлі, Великій Британії та США.
презентація , доданий 17.11.2011
Геометричні концепції точки, променя і кута. Види кутів: розгорнуті, гострі, прямі, тупі, суміжні та вертикальні. Способи побудови суміжних та вертикальних кутів. Рівність вертикальних кутів. Перевірка знань під час уроку геометрії: визначення виду кутів.
презентація , додано 13.03.2010
Поняття числової прямої. Типи числових інтервалів. Визначення координатами положення точки на прямій, площині, у просторі, система координат. Одиниці виміру для осей. Визначення відстані між двома точками площини та у просторі.
Вчитель математики Сарімова Наїля Рахімівна
МБОУ Малобугульмінська загальноосвітня Середня школа
Бугульмінського району Республіки Татарстан
Тема уроку: Вимірювальні роботи на території
(для учнів5-7 класу)
Хто з дитинства займається математикою, той розвиває увагу, тренує свій мозок, свою волю, виховує наполегливість і завзятість у досягненні мети.(А. Маркушевич)
Тим, хто хоч раз відчув радісне почуття від вирішення важкого завдання, пізнав радість нехай маленького, але відкриття, а кожне завдання в математиці-це проблема, до вирішення якої людство йшло часом довгі роки, а діти будуть, прагнуть пізнавати ще й ще й використовувати , застосовувати отримані знання у житті. Це вид роботи - допоможе вчителю захопити учнів, розвивати початки математичного та логічного мислення, розширити кругозір учня, творчу роботу, пробудити бажання займатися вивченням однієї з найцікавіших наук. Бажання це залежить не тільки від роботи на уроці, а й від практичних занять.
Мета уроку: Ознайомити учнів з методами вимірювальних робіт на місцевості, ознайомити учнів такими інструментами, як рулетка, вішка, виска, земельний циркуль, екер, розповісти, як ними користуватися.
Завдання:
- Навчальні: навчити користуватися та застосовувати ці інструменти при вирішенні завдань методом вимірювальних робіт, удосконалювати навички самостійної роботи
-розвиваючі: розвивати логічне мислення, пам'ять, увага, вміння складати план рішення та робити висновки, розвивати пізнавальні інтереси, навички самоконтролю.
-виховні: виховувати акуратність, працьовитість, посидючість, прагнення доводити розпочату справу до кінця, почуття взаємодопомоги, взаємопідтримки.
Тип уроку: урок вивчення нового матеріалу
Форми роботи учнів: робота у групах, у парах
При відборі змісту кожного уроку з цієї теми та форм діяльності учнів застосовуються принципи: взаємозв'язку теорії з практикою, науковості, наочності.
обліку вікових та індивідуальних особливостей учнів;
поєднання колективної та індивідуальної діяльності учасників;
диференційованого підходу;
Критерії оцінки досягнення очікуваних результатів:
активність учнів;
самостійність учнів у виконанні завдань;
практичне застосування математичних знань;
рівень творчих здібностей учасників.
Підготовка та проведення таких уроків дозволяють:
підключити, розбудити та розвинути потенційні здібності учнів;
виявити найбільш активних та здібних учасників;
виховувати моральні якості особистості: працьовитість, завзятість у досягненні мети, відповідальність та самостійність.
навчити застосовувати математичні знання у повсякденному практичному житті.
Структура уроку
Перед проведенням вимірювальних робіт біля ознайомити учнів такими інструментами:
Рулетка- Інструмент для вимірювання довжини. Є металевою або пластмасовою стрічкою з нанесеними поділками, яка намотана на котушку, укладену в корпус, з спеціальним механізмом для змотування стрічки. Механізм змотування може бути одного із двох видів: зі зворотною пружиною – тоді стрічка змотується при відпусканні, а витравлюється з корпусу рулетки з деяким зусиллям; з рукояткою, що виступає назовні обертається, пов'язаної з котушкою стрічки, - тоді стрічка змотується при обертанні рукоятки.
Вішкає прямою дерев'яною жердиною або легкою металевою трубкою довжиною 1,5 - 3 м із загостреним кінцем для витикання в грунт. Вішки використовуються для вішання ліній, позначення точок та встановлення різних пристроїв під час виконання геодезичних робіт. Найбільш прості за конструкцією вішки для вішання ліній та позначення точок. Вони бувають тимчасовими та постійними. Віхи (вішки) – коли, які вбивають у землю.
Землемірний циркуль(Польовий циркуль – сажень) – інструмент у вигляді літери А заввишки 1,37 м і шириною 2 м. для вимірювання відстані на місцевості, для учнів зручніше відстань між ніжками взяти 1 метр.
Екерявляє собою два бруски, розташовані під прямим кутом і укріплені на триніжку. На кінцях брусків вбиті цвяхи так, що прямі, що проходять через них, взаємно перпендикулярні.
Виска(Шнуровий схил) - пристосування, що складається з тонкої нитки і грузика на кінці її, що дозволяє судити про правильне вертикальне положення, що служить для вертикальної юстування поверхонь (стін, простінків, кладки і т. д.) і стійок (стовпів і т. д.). ). Під дією сили тяжіння нитка приймає постійний напрямок (пряма лінія).
Край грузика повинен точно перебувати на продовженні натягнутої нитки, для цієї мети грузику надають вигляд перекинутого конуса, поставленого на циліндр; в основу циліндра вкручується маленький циліндр так, щоб центри їх збігалися; у центральний отвір останнього пропускається нитка із вузлом на кінці.
Виска застосовується для встановлення рейок у вертикальне положення для вертикального юстування при нівелюванні нерівного положення, у конструкціях мензули, рівня та в кутомірних інструментах для встановлення центру лімба над точкою місцевості.
Повторити з учнями такі поняття-пряма, відрізок, прямокутник, довжина, ширина, висота, об'єм, план, масштаб, площа квадрата та прямокутника, середня довжина кроку, периметр, правила округлення чисел.
Потім учням ставиться завдання:
Провести на землі пряму лінію. Виміряти довжину відрізка на прямій.
Провести на землі ділянку прямокутної форми та обчислити її площу та периметр, округлити відповідь до цілих.
Визначити площу пришкільної ділянки. Зробити необхідні вимірювання та обчислення. Зобразити цю ділянку на плані, масштаб плану 1:50000. Відповідь вказати у гектарах.
Визначте середню довжину свого кроку та за допомогою цього знайдіть відстань від школи до найближчого магазину; відповідь округлити до метрів.
Клас розбивається на 4 групи, кожен отримує набір необхідних інструментів. Кожна група може виконувати роботу з будь-якого номера. Групи складають звіт про хід роботи, здають на перевірку. Вчитель оцінює правильність ходу роботи, вірність обчислень та естетику оформлення, ставить загальну оцінку всій групі.
Вирішення завдань з вимірювання на місцевості
(Зразковий опис)
№1. ДЩоб побудувати відрізок прямої лінії на місцевості, потрібно побудувати три вішки на передбачуваному відрізку.
Щоб перевірити правильність побудови прямої, треба стати навпроти крайньої вішки і подивитися на неї так, щоб усі вішки злилися в одну. Якщо ж хоч одна вішка виглядатиме, треба її перемістити так, щоб її не було видно.
Вимірювання довжини відрізка на місцевості виконують за допомогою мірної стрічки або земляного циркуля, або рулетки, можна виміряти приблизно своїм кроком, якщо відомо середня довжина кроку.
Земельний циркуль використовується для знаходження довжини і ширини поля, відстань між його кінцями АВ може бути різними, зазвичай, це приблизно 1,5м або 2м.
Для того, щоб виміряти довжину відрізка на землі з його допомогою, треба пройти з ним уздовж відрізка, постійно перевертаючи в точці С. Скільки разів поміститься його довжина АВ, стільки треба це число помножити на 1,5 м або на 2м. Отримаємо довжину відрізка, що шукається.
Наприклад: l = 1,5 * 10 = 15 (м) або l = 2 * 10 = 20 (м). (Потім можна перевірити довжину рулеткою).
№2. Щоб побудувати на землі прямий кут, використовують екер. Це дві взаємно перпендикулярні планки, кінцях яких вертикально вбиті гвоздики. Все це кріпиться на спеціальній тринозі (штативі), і в центрі є виска, щоб прилад був строго перпендикулярний до поверхні землі. Потрібно ще дві вішки.
У точці Встановлюємо екер, а в точці А і В-вішки. Потрібно стати в точці О і дивитися на планки екеру так, щоб два протилежні гвоздики на одній планці зливалися з вішкою в точці. А й У. Якщо обидві вішки злилися, то кут ВОА=90 градусів, тобто. кут прямий. Якщо ні, треба переміщати вішки до повного злиття.
Так можна побудувати землі прямокутник, квадрат. Потім можна знайти довжини їхніх сторін. Обчислюємо периметр та площу. Відповідь округляємо до цілого числа.
Наприклад: а=12м6дм, =34м8дм; 1) Р = 2 (126дм + 348дм) = 2 * 474дм = 948дм = 94м 8дм. Р = 95м. 2). S = АВ * ВС, S = 126 * 348 (дм) = 3848 (дм квадраті) = 385 м квадраті.
Обчислення квадрата подібні, тільки всі сторони рівні.
№3 . Виконаємо вимірювальні пришкільні ділянки рулеткою або земельним циркулем.
Наприклад:Отримаємо довжину 450м, ширину 100м. Якщо масштаб 1:5000, то переведемо ці розміри для планування.
450м = 45000см;
45000: 5000 = 9 (см) - на плані;
100м = 10000см-на місцевості;
10000:5000-2(см) – на плані. Отримуємо прямокутник АВСД. S = 450 * 100м = 45000кв м = 450а = 45га.
№4 Визначення середньої довжини свого кроку. Для цього будуємо землі відрізок прямої лінії. Учень робить 10 кроків і вимірює довжину відрізка, що вийшов. Потім цю довжину ділить на 10, зробивши це кілька разів складає результати, що вийшов, і ділить на число спроб.
Наприклад:
Кількість спроб | Число кроків | Усього довжина | Довжина 1 кроку |
Середня довжина кроку |
Відстань від школи до найближчого магазину кожен член групи визначає довжиною свого кроку. Потім знаходять середню довжину відстані.
Наприклад:
Учасники | Довжина кроку | Усього кроків | відстані |
L = (310 +293 +292): 3 = 895: 3 = 298,3 (м) = 298м.
Муніципальна освітня установа
«Великодворська основна загальноосвітня школа»
Роботу виконав:
Анфалов Сергій Васильович, 8
клас
Великодворська ЗОШ Бабушкінського
Дата народження: 16.06.1995
Домашня адреса: 161344, Вологодська
область, Бабушкінський р-н, д. Великий
Двір, буд.76.
Керівник:
Бєляєва Олена Василівна,
вчитель фізики та математики
МОУ «Великодворська основна
загальноосвітня школа"
Адреса школи: 161344, Вологодська
область Бабушкінський р-н, д. Великий
д. Великий Двір
2009
ВСТУП.
У курсі вивчення геометрії основної школи розглядаються завдання, пов'язані із практичним застосуванням вивчених знань: вимірювальні роботи на місцевості, вимірювальні інструменти. Практичні роботи біля є однією з найактивніших форм зв'язку навчання з життям, теорії з практикою. Ми вчимося користуватися довідниками, застосовувати необхідні формули, опановувати практичні прийоми геометричних вимірів та побудов. Практичні роботи з використанням вимірювальних інструментів підвищують інтерес до математики, а розв'язання задач на вимірювання ширини річки, висоти предмета та визначення відстані до недоступної точки дозволяють застосувати їх у практичній діяльності, побачити масштаб застосування математики в житті людини. У міру вивчення матеріалу способи вирішення цих завдань змінюються, одну й ту саму задачу можна вирішити багатьма способами. При цьому використовуються такі питання геометрії: рівність і подібність трикутників, співвідношення прямокутного трикутника, теорема синусів і теорема косінусів (9 кл.), теорема Піфагора, властивості прямокутних трикутників і т. д. У школі ми досить докладно геометричні побудови за допомогою циркуля лінійки та вирішуємо багато завдань. А як вирішити такі завдання на місцевості? Адже можна уявити собі такий величезний циркуль, який міг би окреслити коло шкільного стадіону або лінійку для розмітки доріжок парку. На практиці картографам для складання карт, геодезистам для того, щоб розмічати ділянки на місцевості, наприклад, для закладання фундаменту будинку, доводиться використовувати спеціальні методи.
Тема нашого реферату:
Вимірювальні роботи на території.
Ціль:
вивчення деяких методів розв'язання геометричних завданьбіля.
Для реалізації поставленої мети ми визначили такізавдання:
● Вивчити теоретичну та методичну літературупо данному питанню.
● Показати взаємозв'язок математики та основ безпеки життєдіяльності.
● Застосувати практично теоретичні знання.
Об'єктом моїх спостережень стали:
● Визначення висоти предмета.
● Відстань до недоступної точки.
ОСНОВНА ЧАСТИНА.
Однією з найактивніших форм зв'язку навчання із життям, теорії з практикою є виконання під час уроків геометрії практичних робіт, що з виміром, побудовою, зображенням. Ці питання розглядаються і в курсі основ безпеки життєдіяльності, але всі виміри проходять без спеціальних приладів. Робота проводиться як у місцевості, і рішення завдань у класі різними способами перебування висоти предмета і визначення відстані до недоступної точки. За програмою в курсі геометрії розглядаються такі питання:
7 клас
● «Провішування прямої на місцевості» (п.2).
● Вимірювальні інструменти (п.8).
● Вимірювання кутів на місцевості (п.10).
● «Побудова прямих кутів на місцевості» (п.13) ● « Завдання на побудову. Окружність» (п.21).
● «Практичні способи побудови паралельних прямих» (п.26).
● "Кримінальний відбивач" (п.36).
● «Відстань між паралельними прямими» (п.37 – рейсмус).
● «Побудова трикутника за трьома елементами» (п.38).
8 клас
● «Практичні програми подібності до трикутників» (п.64 – вимірювання висоти предмета, визначення відстані до недоступної точки).
9 клас
● "Вимірювальні роботи" (п.100 - вимірювання висоти предмета, визначення відстані до недоступної точки).
Вимірювальні інструменти, що використовуються при вимірі на місцевості:
● РУЛЕТКА – стрічка з нанесеними на ній поділками, призначена для побудови прямих кутів на місцевості.
● ЕКЕР – прилад для вимірювання прямих кутів на місцевості.
● АСТРОЛЯБІЯ – пристрій вимірювання кутів на місцевості.
● ВІХИ (Вішки) – коли, які вбивають у землю.
● ЗЕМЛЯНИЙ ЦИРКУЛЬ (ПОЛЬОВИЙ ЦИРКУЛЬ – САЖЕНЬ) – інструмент у вигляді літери А висотою 1,37 м і шириною 2 м для вимірювання на місцевості.
ЕКЕР.
Екер є два бруски, розташованих під прямим кутом і укріплених на триніжку. На кінцях брусків вбиті цвяхи так, що прямі, що проходять через них, взаємно перпендикулярні.
АСТРОЛЯБІЯ.
Пристрій астролябію складається з двох частин: диска (лімб), розділеного на градуси, і лінійки (алідади), що обертається навколо центру. При вимірі кута біля вона наводиться на предмети, що лежать з його сторонах. Наведення алідади називається візуванням. Для візування є діоптри. Це металеві пластинки із прорізами. Діоптрів два: один з прорізом у вигляді вузької щілини, інший з широким прорізом, посередині якого натягнута волосина. При візуванні до вузького прорізу прикладається око спостерігача, тому діоптр з таким прорізом називається очним. Діоптр з волоском прямує до предмета, що лежить на стороні вимірюваного; він називається предметним. У середині алідади прикріплений до неї компас.
ПОБУДУВАННЯ ОКРУЖНОСТІ НА
МІСЦЕВОСТІ.
На території встановлюється кілочок, якого прив'язується мотузка. Тримаючись за вільний кінець мотузки, рухаючись навколо кілочка, можна описати коло.
ПРАКТИЧНА РОБОТА.
І.
Вимірювання висоти об'єкта.
Способи:
1 Вимірювання висоти стовпа за допомогою плоского дзеркала.
Відповідно до законів відбиття (оптика, фізика), кут падіння сонячного променя дорівнює куту відбиття цього променя від дзеркала.
∟3 = ∟4, де DK ┴ d, d – горизонтальна площина.
С – людина; b – предмет; а – дзеркало.
∟ADB=∟FDF, оскільки кути падіння та відображення сонячного променя рівні, а ∟1 = ∟2 = 90º-∟3, ∟A = ∟E = 90º, отже, трикутники ABD та EFD подібні до двох кутів.
З подоби трикутників випливає AB:AD = FE:DE EF = (AB·DE):AD, де AB – «зростання» людини – відстань від землі до очей, EF – вимірювана висота, AD і DE – відповідно відстані від людини, відбитої у дзеркалі до предмета, що вимірюється.
2. Вимірювання висоти предмета з допомогою тіні.
В М А
СВ – висота телеграфного стовпа.
МN - зростання людини (1,6 м.).
АМ – тінь людини (3,35 м.).
АВ – тінь стовпа (15,3 м.).
Людина встає в область тіні стовпа так, що тінь його верхівки голови збігалася з кінцем тіні від стовпа.
Розглянемо трикутники АВС та АМN.
∟АВС = АМN = 90º. За двома рівними
∟ВАС – загальний. кутах.
Трикутники АВС та АМN подібні.
Можна записати співвідношення сторін AB: AM = CB: MN
CB = (AB · MN): AM
СВ = (15,3 · 1,6): 3,35
СВ = 7,3м.
3. Вимірювання висоти предмета з допомогою віхи.
Використовуємо спосіб, заснований на вимірі тіні, що відкидається об'єктом.
● Виміряти відстань від дерева до точки, де закінчується його тінь.
● Взяти віху і, спостерігаючи її тінню, рухатися назад до дерева до точки повного перекриття їх тіней.
● Встановити тут віху, виміряти відстань до неї.
● З подоби трикутників випливає, що довжина віхи відноситься до довжини своєї тіні так само, як і висота дерева до своєї.
● Визначаємо висоту дерева за формулою:
РЄ :BC = AD:AB, звідси AD = (CE·AB):BC.
4. Вимірювання висоти предмета за допомогою відсутності тіні.
За відсутності тіні висота вертикальних предметів визначається в такий спосіб.
Поруч із вимірюваним предметом встановити вертикально палицю відомої довжини і відійти на 25 – 30 кроків. У витягнутій руці тримати перед очима вертикально олівець чи рівну паличку. Позначити на олівці висоту вертикальної палиці та виміряти цю відстань. Подумки помножити цю відстань на виміряний предмет. Помноживши отриману кількість разів на довжину палиці, можна отримати потрібну величину. На цьому досвіді ми визначили, що висота стовпа дорівнює 6,89 м-коду.
ІІ. Виміряти відстань до недоступної точки.
Способи:
1. Виміряйте відстань до недоступної точки за допомогою окоміру.
Виразно видно:
● з відривом 2 – 3 км – обриси великих дерев;
● на відстані 1 км – стовбури дерев;
● з відривом 0,5 км – великі суки;
● з відривом 300 м – можна розрізнити листя деревах.
2. Виміряйте відстань до недоступної точки за допомогою подібності трикутників.
А) Для вимірювання ширини річки на березі вимірюємо відстань АС, за допомогою астролябії встановлюємо кут А = 90˚ (направивши на об'єкт на протилежному березі), вимірюваємо кут С. На листку паперу будуємо подібний трикутник в масштабі 1:1000 і обчислюємо АВ ширину річки).
В 1
А 1 З 1
Запишемо відношення сторін АВ: А 1 В 1 = АС: А 1 З 1
АВ = (АС·АВ 1 ): А 1 С 1
Б) Ширину річки можна визначити і так: розглядаючи два подібні трикутники АВС і АВ 1 З 1 . Точка А обрана на березі річки, 1 і С у кромки поверхні води, ВР 1 – ширина річки.
3. Виміряти відстань до недоступної точки способом «кепки».
Для визначення ширини річки (яру) необхідно стати на берег і насунути кепку на лоба так, щоб з-під козирка було видно тільки обріз води на протилежному березі. Далі не змінюючи нахилу голови та положення кепки, слід повернути голову вправо (вліво), помітити предмет, який знаходиться на тому самому березі, що і спостерігач, і видно з-під краю козирка. Відстань до цього предмета дорівнює ширині річки. На досвіді ми визначили, що ширина річки рівна 6 м.
5. Виміряйте відстань до недоступної точки за допомогою рівності трикутників.
Один із способів визначення відстані до недоступної точки пов'язаний із законами геометрії і заснований на рівні трикутників.
● Встати навпроти предмета на протилежному березі річки.
● Повернувшись на 90˚, пройти вздовж берега 20 метрів і поставити віху О.
● У тому самому напрямку пройти ще стільки ж.
● Повернувшись на 90˚, йти поки що віха О і предмет на протилежному березі не будуть на одній лінії.
● Відстань РЄ дорівнює ширині річки ВD.
ВD дорівнює 5,78 м-коду.
6. Вимірювання відстані до недоступної точки способом «травинки».
Спостерігач стоїть у точці А і вибирає на протилежному березі біля води два нерухомі предмети (орієнтири), потім, тримаючи в руці травинку (дріт), яка закриває проміжок між орієнтирами, складають її навпіл і відходять від річки доти, доки відстань між орієнтирами не вкладеться в складену навпіл травинку В. Відстань від А до В дорівнює ширині річки. АВ дорівнює 5,96 м-коду.
ВИСНОВОК.
У цьому рефераті розглянуті найактуальніші завдання, пов'язані з геометричними побудовами біля – виміром висоти предмета, визначення відстані до недоступної точки. Наведені завдання мають значний практичний інтерес, закріплюють отримані знання з геометрії та можуть використовуватись для практичних робіт.
Література
Атанасян Л. С. Геометрія 7-9. - М.: Просвітництво, 2003.
Юрченко О. Методи мотивації та стимулювання діяльності учнів. // Математика у шкільництві, №1, 2005
З D-диск "Школа безпеки".
Відеоурок "Вимірювальні роботи" демонструє практичну цінність вивченого матеріалу. До складу відео входить демонстрація, як можна виміряти висоту предметів, застосувавши наявні знання їх геометрії. Також знання геометрії допоможуть знайти відстань до недоступної точки. Практичне значення розділу математики вирішення трикутників важко переоцінити. У будівництві, землемірних та інших інженерних роботах нерідко використовуються знання з цієї галузі математики.
Застосування теоретичних знань практично демонструється з допомогою ілюстрацій, у яких легко зобразити реальну практичне завдання, що виникла під час інженерних робіт. Анімоване уявлення побудов дає можливість виявити знайомі завдання під час виконання практичного завдання. За допомогою супроводу у вигляді формул та голосового пояснення дається розгорнуте пояснення методу вирішення подібних завдань.
Відеоурок починається з подання теми. Пропонується застосувати вивчені матеріали під час вирішення практичної завдання біля - визначити висоту деякого предмета. На ілюстрації демонструється високе дерево, висоту якого потрібно виміряти. Основа дерева відзначено як точка Н. Помічено, що при відмітці деякої точки А, до якої обчислюється висота, і деякої точки на відстані b від точки Н, утворюється трикутник АНВ, значення деяких елементів якого відомо. Відомі прямий кут при вершині трикутника Н, кут ∠АВН=α при вершині, сторона а. Щоб знайти висоту АН, необхідно обчислити добуток довжини сторони а та тангенсу кута ∠α.
Розв'язання задачі можливе навіть у випадку, коли немає можливості виміряти відстань від основи дерева Н до точки В. У цьому випадку на прямій, якій належить сторона НВ, відзначається ще одна точка С. Вимірюється відстань між відзначеними точками В і С, а також кути при них ∠АВН=∠α та ∠АСВ=∠β. Даних елементів достатньо, щоб визначити елементи трикутника АВС, що залишилися невідомими. Оскільки ∠α є зовнішнім кутом трикутника, його величина визначається за формулою ∠А=α-β. Для знаходження довжини сторони АВ застосовуємо теорему синусів, з якої АВ=a·sinβ/sin(α-β). Після обчислення сторони АВ можна визначити висоту АН=АВ·sinα. Замість АВ підставляється одержаний вираз. Отримуємо висоту АН = a · sinα · sinβ / sin (α-β).
Ще один вид завдань, які вирішуються на місцевості із застосуванням знань, отриманих у даному розділі - вимірювань відстаней від деякої точки до недоступної точки. На малюнку до завдання наведено приклад, коли необхідно виміряти відстань від певної точки до віддаленої точки недоступної. Відзначено деяку точку А, віддалену точку С і відстань d. Зазначається, що аналогічне завдання вже вирішувалося учнями під час курсу математики з допомогою поняття подоби трикутників. На цей раз демонструється розв'язання задачі, використовуючи методи розв'язання трикутників. Для цього на цій місцевості відзначається ще одна точка, від якої відстань до А дорівнює с. За допомогою астролябії можна виміряти кути при вершинах утвореного трикутника ∠А=α та ∠В=β. Наявних даних достатньо, щоб визначити відстань d=АС. Кут ∠С, що залишився невідомим, обчислюється по теоремі суми кутів трикутника sinС=sin(180⁰-α-β)= sin(α+β). Далі знаходження відстані d=АС застосовується теорема синусів, з якої випливає АС/sinВ=АВ/sinС. Підставляючи замість невідомих отримані з теореми вирази, отримуємо d=с sinβ/sin(α+β). Також наголошується, що аналогічно даному ходу рішення визначаються відстані до небесних світил.
Відеоурок «Вимірювальні роботи» можна використовувати в ході традиційного уроку геометрії замість пояснення вчителя. Також цей матеріал можна рекомендувати учням для самостійного розгляду. Допоможе цей наочний посібник вчителеві надати практичне значення вивченого матеріалу та в ході дистанційного навчання.
У курсі вивчення геометрії основної школи розглядаються завдання, пов'язані із практичним застосуванням вивчених знань: вимірювальні роботи на місцевості, вимірювальні інструменти. Практичні роботи біля є однією з найактивніших форм зв'язку навчання з життям, теорії з практикою. Учні навчаються користуватися довідниками, застосовувати необхідні формули, опановують практичні прийоми геометричних вимірів та побудов.
Практичні роботи з використанням вимірювальних інструментів підвищують інтерес учнів до математики, а розв'язання задач на вимір ширини річки, висоти предмета та визначення відстані до недоступної точки дозволяють застосувати їх у практичній діяльності, побачити масштаб застосування математики в житті людини.
У міру вивчення матеріалу способи вирішення цих завдань змінюються, одну й ту саму задачу можна вирішити багатьма способами. У цьому використовуються такі питання геометрії: рівність і подібність трикутників, співвідношення прямокутному трикутнику, теорема синусів і теорема косінусів, теорема Піфагора, властивості прямокутних трикутників тощо.
Цілі проведення уроків "Вимірювання на місцевості":
Завдання:
Критерії оцінки досягнення очікуваних результатів:
Підготовка та проведення таких уроків дозволяють:
Однією з найактивніших форм зв'язку навчання із життям, теорії з практикою є виконання учнями під час уроків геометрії практичних робіт, що з виміром, побудовою, зображенням. У курсі вивчення геометрії основної школи розглядаються завдання, пов'язані із практичним застосуванням вивчених знань: вимірювальні роботи на місцевості, вимірювальні інструменти. На уроках математики паралельно з вивченням теоретичного матеріалу учні повинні навчитися проводити вимірювання, користуватися довідниками та таблицями, вільно володіти креслярськими та вимірювальними інструментами. Робота проводиться як у місцевості, і рішення завдань у класі різними способами перебування висоти предмета і визначення відстані до недоступної точки. За програмою в курсі геометрії розглядаються такі питання:
7 клас
8 клас.
9 клас.
Практичні роботи на уроках геометрії дозволяють вирішувати педагогічні завдання: ставити перед учнями пізнавальну математичну проблему, актуалізувати їх знання та готувати до засвоєння нового матеріалу, формувати практично вміння та навички у поводженні з різними приладами, інструментами, обчислювальною технікою, довідниками та таблицями. реалізувати в навчанні найважливіші принципи взаємозв'язку теорії та практики: практика виступає як вихідна ланка розвитку теорії та служить найважливішим стимулом її вивчення учнями, вона є засобом перевірки теорії та областю її застосування.
Система проведення уроків “Вимірювання біля” ставить цели:
Передбачає виконання таких завдань:
При відборі змісту кожного уроку з цієї теми та форм діяльності учнів використовуються принципи:
Критерії оцінки досягнення очікуваних результатів:
Підготовка та проведення таких уроків дозволяють:
Вимірювальні інструменти, що використовуються при вимірі на місцевості:
Екер
Екер є два бруски, розташованих під прямим кутом і укріплених на триніжку. На кінцях брусків вбиті цвяхи так, що прямі, що проходять через них, взаємно перпендикулярні.
Астролябія
Пристрій: астролябія складається з двох частин: диска (лімб), розділеного на градуси, і лінійки (алідади), що обертається навколо центру. При вимірі кута біля вона наводиться на предмети, що лежать з його сторонах. Наведення алідади називається візуванням. Для візування є діоптри. Це металеві пластинки із прорізами. Діоптрів два: один з прорізом у вигляді вузької щілини, інший з широким прорізом, посередині якого натягнута волосина. При візуванні до вузького прорізу прикладається око спостерігача, тому діоптр з таким прорізом називається очним. Діоптр з волоском прямує до предмета, що лежить на стороні вимірюваного; він називається предметним. У середині алідади прикріплений до неї компас.
астролябія
Практичні роботи
1. Побудова прямої на місцевості (провішування прямої лінії)
Відрізки біля позначають з допомогою віх. Щоб вішка стояла прямо, застосовують виска (який - або вантаж, підвішений на нитці). Ряд вбитих у землю віх і означає відрізок прямої лінії біля. У вибраному напрямку ставлять дві віхи з відривом друг від друга, з-поміж них інші віхи, те щоб дивлячись через одну, інші прикривалися друг другом.
Практична робота: Побудова прямий на місцевості.
Завдання: відзначте на ній відрізок 20 м, 36 м, 42 м.
2. Вимірювання середньої довжини кроку.
Вважається кілька кроків (наприклад, 50), вимірюється дана відстань і обчислюється середня довжина кроку. Досвід зручніше провести кілька разів та порахувати середнє арифметичне.
Практична робота: вимір середньої довжини кроку.
Завдання: знаючи середню довжину кроку, відкладіть біля відрізок 20 м, перевірте з допомогою рулетки.
3. Побудова прямих кутів біля.
Щоб побудувати на місцевості прямий кут АОВ із заданою стороною ОА, встановлюють триніжок з екером так, щоб схил знаходився точно над точкою О, а напрям одного бруска збігся з напрямком променя ОА. Поєднання цих напрямів можна здійснити за допомогою віхи, поставленої на промені. Потім провішують пряму лінію за іншим бруском (ОВ).
Практична робота: побудова прямого кута біля, прямокутника, квадрата.
Завдання: виміряйте периметр і площу прямокутника, квадрата.
4. Побудова та вимірювання кутів за допомогою астролябії.
Астролябію встановлюють у вершині вимірювального кута так, щоб лімб її був розташований в горизонтальній площині, а виска, підвішений під центром лімба, проектувався б у точку, що приймається за вершину кута на поверхні землі. Потім візують алідадою у напрямку однієї сторони кута, що вимірюється, і відраховують на лімбі градусні поділки проти мітки предметного діоптра. Повертають алідаду по ходу годинникової стрілки у напрямку другої сторони кута і роблять другий відлік. Шуканий кут дорівнює різниці показань при другому та першому відліках.
Практична робота:
Завдання: Виміряти градусні заходи заданих кутів.
5. Побудова кола біля.
На території встановлюється кілочок, якого прив'язується мотузка. Тримаючись за вільний кінець мотузки, рухаючись навколо кілочка, можна описати коло.
Практична робота: побудова кола.
Завдання: вимір радіуса, діаметра; обчислення площі кола, довжини кола.
6. Визначення висоти предмета.
а) За допомогою обертової планки.
Припустимо, що нам потрібно визначити висоту якогось предмета, наприклад висоту стовпа А 1 С 1 (завдання № 579). Для цього поставимо на деякій відстані від стовпа жердину АС з планкою, що обертається, і направимо планку на верхню точку С 1 стовпа. Зазначимо на поверхні землі точку, в якій пряма А 1 А перетинається з поверхнею землі. Прямокутні трикутники А1С1В і АСВ подібні за першою ознакою подібності трикутників (кут А1 = кут А=90о, кут В – загальний). З подоби трикутників випливає;
Вимірявши відстані ВА 1 і ВА (відстань від точки В до основи стовпа і відстань до жердини з планкою, що обертається), знаючи довжину АС жердини, за отриманою формулою визначаємо висоту А 1 С 1 стовпа.
б) З допомогою тіні.
Вимірювання слід проводити у сонячну погоду. Виміряємо довжину тіні дерева та довжину тіні людини. Побудуємо два прямокутні трикутники, вони подібні. Використовуючи подібність трикутників складемо пропорцію (відношення відповідних сторін), з якої знайдемо висоту дерева (завдання №580). Можна таким чином визначити висоту дерева і 6 кл, використовуючи побудову прямокутних трикутників у вибраному масштабі.
в) За допомогою дзеркала.
Для визначення висоти предмета можна використовувати дзеркало, розташоване землі горизонтально (завдання №581). Промінь світла, відбиваючись від дзеркала, потрапляє в око людини. Використовуючи подобу трикутників можна знайти висоту предмета, знаючи зростання людини (до очей), відстань від очей до верхівки людини і вимірюючи відстань від людини до дзеркала, відстань від дзеркала до предмета (враховуючи, що кут падіння променя дорівнює куту відбиття).
г) За допомогою креслярського прямокутного трикутника.
На рівні очей розташуємо прямокутний трикутник, направивши один катет горизонтально поверхні землі, інший направивши катет на предмет, висоту якого вимірюємо. Відходимо від предмета таку відстань, щоб другий катет “прикрив” дерево. Якщо трикутник ще й рівнобедрений, то висота предмета дорівнює відстані від людини до основи предмета (додавши зростання людини). Якщо трикутник не рівнобедрений, то використовується знову подібність трикутників, вимірюючи катети трикутника та відстань від людини до предмета (використовується і побудова прямокутних трикутників у вибраному масштабі). Якщо трикутник має кут 30 0 , то використовується властивість прямокутного трикутника: проти кута 30 0 лежить катет вдвічі менше гіпотенузи.
д) Під час гри "Зірниця" учням не дозволяється використовувати вимірювальні прилади, тому можна запропонувати наступний спосіб:
один лягає на землю і спрямовує очі на верхівку іншого, що знаходиться від нього на відстані свого зростання, так щоб пряма проходила через верхівку товариша і верхівку предмета. Тоді трикутник виходить рівнобедреним і висота предмета дорівнює відстані від предмета, що лежав до основи, яке вимірюється, знаючи середню довжину кроку учня. Якщо ж трикутник не рівнобедрений, то знаючи середню довжину кроку вимірюється відстань від землі, що лежала на землі, до предмета, що стояв і до предмета, зріст стояв наперед відомий. А далі за ознакою подібності трикутників обчислюється висота предмета (або побудова прямокутних трикутників у вибраному масштабі).
7. Визначення відстані до недоступної точки.
а) Припустимо, що нам потрібно знайти відстань від пункту А до недоступного пункту. Для цього на місцевості вибираємо точку С, провішуємо відрізок АС та вимірюємо його. Потім за допомогою астролябії вимірюваємо кути А і С. На листку паперу будуємо якийсь трикутник А 1 В 1 С 1 , у якого кут А 1 = кут А, кут С! = кут С і вимірюємо довжини сторін А 1 В 1 і А 1 С 1 цього трикутника. Оскільки трикутник АВС подібний до трикутника А 1 В 1 С 1 , то АВ: А 1 В 1 = АС: А 1 С 1 , звідки знаходимо АВ по відомих відстанях АС, А 1 С 1 , А 1 В 1. . Для зручності обчислень зручно побудувати трикутник А1В1С1 так, щоб А1С1: АС = 1:1000
б) Для вимірювання ширини річки на березі вимірюємо відстань АС, за допомогою астролябії встановлюємо кут А = 90 0 (направивши на об'єкт на протилежному березі), вимірюваємо кут С. На листку паперу будуємо подібний трикутник (зручніше в масштабі 1: 1000) обчислюємо АВ (ширину річки).
в) Ширину річки можна визначити і так: розглядаючи два подібні трикутники АВС і АВ 1 С 1 . Точка А обрана на березі річки, В 1 і С біля кромки поверхні води, ВВ 1 - ширина річки (зад №583, рис 204 підручника), вимірюючи при цьому АС, АС 1 , АВ 1 .
Практична робота: визначити висоту дерева, ширину річки.
У 9 класі у пункті 100 теж розглядаються вимірювальні роботи біля, але використовується тема “Рішення трикутників”, у своїй застосовується теорема синусів і теорема косінусів. Розглядаються завдання з конкретними даними, вирішуючи які можна побачити різні способи знаходження та висоти предмета та визначити відстань до недоступної точки, що можна застосувати у майбутньому практично.
1. Вимірювання висоти предмета.
Припустимо, що потрібно визначити висоту АН якогось предмета. Для цього відзначимо точку на певній відстані а від підстави Н предмета і виміряємо кут АВН. За цими даними із прямокутного трикутника АНВ знаходимо висоту предмета: АН = НВ tgАВН.
Якщо основа предмета недоступна, то можна зробити так: на прямій, що проходить через основу Н предмета, відзначимо дві точки В і С на певній відстані а одна від одної і виміряємо кути АВН і АСВ: кут АВН = a, Кут АСВ = b, Кут ВАС = a – b. Ці дані дозволяють визначити всі елементи трикутника АВС; за теоремою синусів знаходимо АВ:
АВ = sin ( a – b). З прямокутного трикутника АВН знаходимо висоту АН предмета:
АН = АВ sin a.
№ 1036
Спостерігач розташований на відстані 50 м від вежі, висоту якої хоче визначити. Основу вежі він бачить під кутом 100 до горизонту, а вершину – під кутом 450 до горизонту. Яка висота вежі? (Рис.298 підручника)
Рішення
Розглянемо трикутник АВС – прямокутний і рівнобедрений, тому що кут СВА = 450, то і кут ВСА = 450, значить СА = 50м.
Розглянемо трикутник АВН – прямокутний, tg (АВН) = АН/АВ, звідси
АН = АВ tg (АВН), тобто АН = 50tg 100, звідси АН = 9м. СН = СА + АН = 50 + 9 = 59 (м)
№ 1038
На горі знаходиться вежа, висота якої дорівнює 100м. Деякий предмет А біля підніжжя гори спостерігають спочатку з вершини В вежі під кутом 60 0 до горизонту, а потім з її основи під кутом 30 0 . Знайдіть висоту Н гори (рисунок 299 підручника).
Рішення:
кут ЄВА = 60 0
кут КСА = 30 0
Знайти СР.
Рішення:
Кут СВК = 30 0 т.к. кут ЕВС = 900 і кут ЕВА = 600, звідси кут СКА = 600, значить кут СКА = 1800 - 600 = 1200.
У трикутнику СКА бачимо, що кут АСК = 30 0 , кутСКА = 120 0 то кутСАК = 30 0 отримаємо, що трикутник ВСА рівнобедрений з основою АВ, т.к. кут СВК = 30 0 і кут ВАС = 30 0 означає АС = 100м (ВС = АС).
Розглянемо трикутник АСР, прямокутний з гострим кутом в 30 0 (РАС = АСК, навхрест кути, що лежать при перетині паралельних прямих СК і АР січної АС), а проти кута в 30 0 лежить катет вдвічі менше гіпотенузи, тому РС = .
2. Вимір відстані до недоступної точки (вимір ширини річки).
Випадок 1.Вимірювання відстані між точками Аі В, розділеними перешкодою (річкою).
Виберемо на березі річки дві доступні точки А та В, відстань між якими може бути виміряна. З точки А видно і точку В і точку С, узяту на протилежному березі. Виміряємо відстань АВ, за допомогою астролябії вимірюємо кути А та В, кут АСВ = 180 0 – кут А – кут В
Знаючи одну сторону трикутника і всі кути, по теоремі синусів знаходимо відстань, що шукається.
2 випадок.
Вимірювання відстані між точками А та В, розділеними перешкодою (озером). Точки А та В доступні.
Вибирають третю точку З, з якої видно точки А і В і можуть бути безпосередні вимірювані відстані до них. Виходить трикутник, у якого дано кут АСВ (вимірюється за допомогою астролябії) та сторони АС та ВС. З цих даних по теоремі косінусів можна визначити величину боку АВ – відстань. АВ 2 = АС 2 + ВС 2 - 2 АС * ВС cos кута С.
3 випадок:
Вимірювання відстані між точками А і В, розділеними перешкодою (лісом) і недоступними визначальному відстань (точки знаходяться по той бік річки).
Вибирають дві доступні точки З і К, відстань між якими може бути виміряна і з яких видно як точка А, так точка В.
Встановлюють астролябію в точці З і вимірюють кути АСК та ТСК. Потім вимірюють відстань СК і переносять астролябію т. до, з якої вимірюють кути АКС і АКВ. На папері по стороні СК, взятій у певному масштабі та двом прилеглим кутам будують трикутники АСК та ТСК та обчислюють елементи цих трикутників. Провівши на кресленні лінію АВ, визначають довжину її безпосередньо за кресленням або шляхом обчислення (вирішують трикутники АВС та АВК, до яких входить лінія АВ, що визначається).
Практична робота в 9 кл на уроках геометрії:
Роботу провести і через подобу трикутників та через тему “Рішення трикутників”.
Завдання: порівняти отримані результати.
У результаті проведення циклу уроків з питань розгляду практичного застосування геометрії, учні переконуються у безпосередньому застосуванні математики в практичному житті людини (вимір відстані до недоступної точки, визначення висоти предмета різними способами до кінця навчання в основній школі, використання вимірювальних приладів). Рішення завдань цього викликає зацікавленість учнів, які з нетерпінням чекають уроків, пов'язаних з безпосереднім виміром біля. А завдання, запропоновані у підручнику, знайомлять із різними способами вирішення цих завдань.
Література: