ТЕОРІЯ АВТОМАТИЧНОГО УПРАВЛІННЯ ДЛЯ «ЧАЙНИКІВ»
К.Ю. Поляків
Санкт-Петербург
© К.Ю. Поляків, 2008
«У ВНЗ потрібно викладати матеріал на високому професійному рівні. Але оскільки цей рівень проходить значно вище голови середнього студента, я пояснюватиму на пальцях. Це не дуже професійно, проте зрозуміло».
Невідомий викладач
Передмова
Ця методика варта першого знайомства з предметом. Її завдання – пояснити «на пальцях» основні поняття теорії автоматичного регулюванняі зробити так, щоб після її прочитання ви змогли сприймати професійну літературу на цю тему. Потрібно розглядати цей посібник лише як фундамент, стартовий майданчик для серйозного вивчення серйозного предмета, який може стати дуже цікавим та цікавим.
Є сотні підручників з автоматичного керування. Але вся проблема в тому, що мозок при сприйнятті нової інформації шукає щось знайоме, за що можна зачепитися, і на цій основі прив'язати нове до вже відомих понять. Практика показує, що читати серйозні підручники для сучасного студента складно. Нема за що зачепитися. Та й за суворими науковими доказами часто вислизає суть справи, яка зазвичай є досить простою. Автор спробував «спуститися» на рівень нижче і побудувати ланцюжок від «життєвих» понять до понять теорії управління.
Виклад на кожному кроці грішить суворістю, докази не наводяться, формули використовуються лише там, де без них не можна. Математик знайде тут багато недомовленостей та недоглядів, оскільки (відповідно до цілей посібника) між суворістю та зрозумілістю вибір завжди робиться на користь зрозумілості.
Від читача потрібні невеликі попередні знання. Потрібно мати уявлення
о деяких розділах курсу вищої математики:
1) похідних та інтегралах;
2) диференціальних рівняннях;
3) лінійної алгебри, матриці;
4) комплексних числах.
Подяки
Автор висловлює глибоку вдячність д.ф.-м.н. О.М. Чурилова, к.т.н. В.М. Калініченко та к.т.н. В.О. Рибінському, які уважно прочитали попередню версію посібника та висловили багато цінних зауважень, які дозволили покращити виклад та зробити його більш зрозумілим.
© К.Ю. Поляків, 2008
ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ... |
|||
Вступ................................................. .................................................. .............................................. |
|||
Системи управління................................................ .................................................. ........................... |
|||
1.3. Які бувають системи керування? .................................................. ............................................... |
|||
М АТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ.......................................................................................................................... |
|||
2.1. Що потрібно знати для керування? .................................................. ................................................. |
|||
2.2. Зв'язок входу та виходу.............................................. .................................................. ........................... |
|||
Як будуються моделі? .................................................. .................................................. ................... |
|||
Лінійність та нелінійність............................................... .................................................. ............. |
|||
Лінеаризація рівнянь................................................ .................................................. ................... |
|||
Управління................................................. .................................................. ........................................ |
|||
3. М ОДЯГИ ЛІНІЙНИХ ОБ'ЄКТІВ..................................................................................................................... |
|||
Диференційне рівняння................................................ .................................................. ......... |
|||
3.2. Моделі у просторі станів.............................................. .................................................. .. |
|||
Перехідна функція................................................ .................................................. .......................... |
|||
Імпульсна характеристика (вагова функція) ............................................ ................................. |
|||
Передатна функція................................................ .................................................. ..................... |
|||
Перетворення Лапласа................................................ .................................................. .................. |
|||
3.7. Передатна функція та простір станів.............................................. .......................... |
|||
Частотні характеристики................................................ .................................................. .......... |
|||
Логарифмічні частотні характеристики............................................... ............................... |
|||
4. Т ІПОВІ ДИНАМІЧНІ ланки................................................................................................................ |
|||
Підсилювач................................................. .................................................. ......................................... |
|||
Аперіодична ланка................................................ .................................................. ........................ |
|||
Коливальна ланка................................................ .................................................. ......................... |
|||
Інтегруюча ланка................................................ .................................................. ....................... |
|||
Диференціюючі ланки................................................ .................................................. .............. |
|||
Запізнення................................................. .................................................. .................................... |
|||
«Зворотні» ланки.............................................. .................................................. ............................. |
|||
ЛАФЧХ складних ланок............................................... .................................................. .................. |
|||
З ТРУКТУРНІ СХЕМИ.................................................................................................................................... |
|||
Умовні позначення................................................ .................................................. ...................... |
|||
Правила перетворення................................................ .................................................. ................... |
|||
Типова одноконтурна система............................................... .................................................. ..... |
|||
А НАЛИЗ СИСТЕМ УПРАВЛІННЯ...................................................................................................................... |
|||
Вимоги до управління............................................... .................................................. ................... |
|||
Процес на виході............................................... .................................................. .............................. |
|||
Точність................................................. .................................................. ........................................... |
|||
Стійкість................................................. .................................................. .................................. |
|||
Критерії стійкості................................................ .................................................. .................. |
|||
Перехідний процес................................................ .................................................. .......................... |
|||
Частотні оцінки якості............................................... .................................................. ............ |
|||
Кореневі оцінки якості............................................... .................................................. ................ |
|||
Робастність................................................. .................................................. .................................... |
|||
З ІНТЕЗ РЕГУЛЯТОРІВ.................................................................................................................................... |
|||
Класична схема................................................ .................................................. ........................... |
|||
ПІД-регулятори............................................... .................................................. ................................ |
|||
Метод розміщення полюсів............................................... .................................................. ............. |
|||
Корекція ЛАФЧХ................................................ .................................................. ............................ |
|||
Комбіноване управління................................................ .................................................. ........... |
|||
Інваріантність................................................. .................................................. .............................. |
|||
Безліч стабілізуючих регуляторів............................................... .................................... |
|||
ВИСНОВОК ................................................. .................................................. .................................................. ..... |
|||
Л ІТЕРАТУРА ДЛЯ НАСТУПНОГО ЧИТАННЯ.......................................................................................................... |
© К.Ю. Поляків, 2008
1. Основні поняття
1.1. Вступ
З давніх-давен людина хотіла використовувати предмети і сили природи у своїх цілях, тобто керувати ними. Керувати можна неживими предметами (наприклад, перекочуючи камінь на інше місце), тваринами (дресирування), людьми (начальник – підлеглий). Безліч завдань управління у світі пов'язані з технічними системами – автомобілями, кораблями, літаками, верстатами. Наприклад, потрібно підтримувати заданий курс корабля, висоту літака, частоту обертання двигуна, температуру в холодильнику чи печі. Якщо ці завдання вирішуються без участі людини, говорять про автоматичне управління.
Теорія управління намагається відповісти питанням «як треба управляти?». До XIX століття науки про управління не існувало, хоча перші системи автоматичного управління вже були (наприклад, вітряки «навчили» розгортатися назустріч вітру). Розвиток теорії управління розпочалося у період промислової революції. Спочатку цей напрямок у науці розроблялося механіками на вирішення завдань регулювання , тобто підтримки заданого значення частоти обертання, температури, тиску у технічних пристроях (наприклад, у парових машинах). Звідси походить назва «теорія автоматичного регулювання».
Пізніше з'ясувалося, що принципи управління можна успішно застосовувати у техніці, а й у біології, економіці, громадських науках. Процеси управління та обробки інформації в системах будь-якої природи вивчає наука кібернетика. Один із її розділів, пов'язаний головним чином з технічними системами, називається теорією автоматичного управління. Крім класичних завдань регулювання, вона оптимізує закони управління, питання пристосовуваності (адаптації).
Іноді назви «теорія автоматичного керування» та «теорія автоматичного регулювання» використовуються як синоніми. Наприклад, у сучасній зарубіжній літературі ви зустрінете лише один термін – control theory.
1.2. Системи управління
1.2.1. Із чого складається система управління?
У Завданнями управління завжди є два об'єкти – керований та керуючий. Керований об'єкт зазвичай називаютьоб'єктом управлінняабо просто об'єктом, а керуючий об'єкт – регулятором. Наприклад, під час керування частотою обертання об'єкт управління – це двигун (електромотор, турбіна); у задачі стабілізації курсу корабля – корабель, занурений у воду; у завданні підтримки рівня гучності – дина-
Регулятори можуть бути збудовані на різних принципах. |
|
Найвідоміший з перших механічних регуляторів – |
|
відцентровий регулятор Уатта для стабілізації частоти |
|
обертання парової турбіни (на малюнку праворуч). Коли частота |
|
обертання збільшується, кульки розходяться через збільшення |
|
відцентрової сили. При цьому через систему важелів небагато |
|
закривається заслінка, зменшуючи потік пари на турбіну. |
|
Регулятор температури у холодильнику або термостаті – |
|
це електронна схема, яка включає режим охолодження |
|
(або нагрівання), якщо температура стає вищою (або нижче) |
|
заданою. |
|
У багатьох сучасних системах регулятори - це мікропроцесорні пристрої, ком- |
|
п'ютери. Вони успішно керують літаками і космічними кораблями без участі людини. |
© К.Ю. Поляків, 2008
ка. Сучасний автомобіль буквально «напханий» електронікою, що управляє, аж до бортових комп'ютерів.
Зазвичай регулятор діє на об'єкт управління не прямо, а через виконавчі механізми (приводи), які можуть посилювати і перетворювати сигнал управління, наприклад, електричний сигнал може «перетворюватися» на переміщення клапана, що регулює витрату палива, або поворот керма на деякий кут.
Щоб регулятор міг «бачити», що відбувається з об'єктом, потрібні датчики . За допомогою датчиків найчастіше вимірюються характеристики об'єкта, якими потрібно управляти. Крім того, якість керування можна покращити, якщо отримувати додаткову інформацію – вимірювати внутрішні властивості об'єкта.
1.2.2. Структура системи
Отже, типову систему управління входять об'єкт, регулятор, привід і датчики. Однак, набір цих елементів ще не система. Для перетворення на систему потрібні канали зв'язку, через них йде обмін інформацією між елементами. Для передачі можуть використовуватися електричний струм, повітря (пневматичні системи), рідина (гідравлічні системи), комп'ютерні мережі.
Взаємопов'язані елементи – це вже система , яка має (за рахунок зв'язків) особливі властивості, яких немає в окремих елементів і будь-якої їх комбінації.
Основна інтрига управління пов'язані з тим, що у об'єкт діє довкілля – зовнішні обурення, які «заважають» регулятору виконувати поставлене завдання Більшість обурень заздалегідь непередбачувані, тобто мають випадковий характер.
Крім того, датчики вимірюють параметри не точно, а з деякою помилкою, хай і малою. У цьому випадку говорять про «шуми вимірювань» за аналогією з шумами в радіотехніці, які спотворюють сигнали.
Підсумовуючи, можна намалювати структурну схему системи управління так:
управління |
||||||||||
регулятор |
обурення |
|||||||||
зворотна |
||||||||||
вимірювань |
Наприклад, у системі управління курсом корабля
об'єкт управління- Це сам корабель, що знаходиться у воді; для управління його курсом використовується кермо, що змінює напрямок потоку води;
регулятор - цифрова обчислювальна машина;
привід – кермовий пристрій, який посилює керуючий електричний сигнал і перетворює його на поворот керма;
датчики – вимірювальна система, що визначає фактичний курс;
зовнішні обурення– це морське хвилювання та вітер, що відхиляють корабель від заданого курсу;
шуми вимірів – це помилки датчиків.
Інформація в системі управління ніби «ходить по колу»: регулятор видає сигнал
управління на привід, що впливає безпосередньо на об'єкт; потім інформація про об'єкт через датчики повертається назад до регулятора і починається знову. Говорять, що в системі є зворотний зв'язок, тобто регулятор використовує інформацію про стан об'єкта для вироблення управління. Системи із зворотним зв'язком називають замкнутими, оскільки інформація передається по замкнутому контуру.
© К.Ю. Поляків, 2008
1.2.3. Як працює регулятор?
Регулятор порівнює сигнал («завдання», «уставку», «бажане значення») з сигналами зворотного зв'язку від датчиків і визначає неузгодженість(помилку управління) – різницю між заданим та фактичним станом. Якщо воно дорівнює нулю, жодного керування не потрібно. Якщо різниця є, регулятор видає сигнал, що управляє, який прагне звести неузгодження до нуля. Тому схему регулятора у багатьох випадках можна намалювати так:
неузгодженість |
|||||||
алгоритм |
управління |
||||||
управління |
|||||||
Зворотній зв'язок
Така схема показує управління помилкою(або за відхиленням). Це означає, що для того щоб регулятор почав діяти, потрібно, щоб керована величина відхилилася від заданого значення. Блок, позначений знаком ≠, знаходить неузгодженість. У найпростішому випадку у ньому із заданого значення віднімається сигнал зворотного зв'язку (виміряне значення).
Чи можна керувати об'єктом так, щоб не було помилок? У реальних системах – ні. Насамперед, через зовнішні впливи та шуми, які заздалегідь невідомі. Крім того, об'єкти управління мають інерційність, тобто, не можуть миттєво перейти з одного стану в інший. Можливості регулятора та приводів (тобто потужність сигналу керування) завжди обмежені, тому швидкодія системи керування (швидкість переходу на новий режим) також обмежена. Наприклад, при керуванні кораблем кут перекладки керма зазвичай не перевищує 30 - 35 °, це обмежує швидкість зміни курсу.
Ми розглянули варіант, коли зворотний зв'язок використовується зменшити різницю між заданим і фактичним станом об'єкта управління. Такий зворотний зв'язок називається негативним , тому що сигнал зворотного зв'язку віднімається з сигналу, що задає. Чи може бути навпаки? Виявляється, так. У цьому випадку зворотний зв'язок називається позитивним, він збільшує неузгодженість, тобто прагне «розкачати» систему. Насправді позитивна зворотний застосовується, наприклад, в генераторах підтримки незатухающих електричних коливань.
1.2.4. Розімкнуті системи
Чи можна керувати, не використовуючи зворотний зв'язок? В принципі можна. У цьому випадку регулятор не отримує жодної інформації про реальний стан об'єкта, тому має бути точно відомо, як цей об'єкт поводиться. Тільки тоді можна заздалегідь розрахувати, як ним потрібно управляти (побудувати потрібну програму управління). Однак не можна гарантувати, що завдання буде виконано. Такі системи називають системами програмного управлінняабо розімкнутими системамиоскільки інформація передається не по замкнутому контуру, а тільки в одному напрямку.
програма |
управління |
|||||
регулятор |
обурення |
|||||
Сліпий та глухий водій теж може вести машину. Деякий час. Поки що він пам'ятає дорогу і зможе правильно розрахувати своє місце. Поки що на шляху не зустрінуться пішоходи чи інші машини, про які він заздалегідь не може знати. З цього простого прикладу ясно, що без
© К.Ю. Поляків, 2008
зворотний зв'язок (інформації з датчиків) неможливо врахувати вплив невідомих чинників, неповноту наших знань.
Незважаючи на ці недоліки, розімкнені системи застосовуються на практиці. Наприклад інформаційне табло на вокзалі. Або найпростіша система керування двигуном, у якій не потрібно дуже точно підтримувати частоту обертання. Проте з погляду теорії управління розімкнені системи малоцікаві, і ми більше про них згадуватимемо.
1.3. Які бувають системи керування?
Автоматична система- Це система, яка працює без участі людини. Є ще автоматизованісистеми, в яких рутинні процеси (збір та аналіз інформації) виконує комп'ютер, але керує всією системою людина-оператор, яка і приймає рішення. Ми будемо далі вивчати лише автоматичні системи.
1.3.1. Завдання систем управління
Автоматичні системи керування застосовуються для вирішення трьох типів завдань:
стабілізація , тобто підтримка заданого режиму роботи, що не змінюється тривалий час (що задає сигнал – постійна, часто нуль);
програмне управління- Управління по заздалегідь відомої програмі (що сигнал задає змінюється, але заздалегідь відомий);
стеження за невідомим сигналом, що задає.
До системам стабілізації відносяться, наприклад, авторульові на кораблях (підтримка заданого курсу), системи регулювання частоти обертання турбін. Системи програмного управління широко використовуються у побутовій техніці, наприклад, у пральних машинах. Слідкуючі системи служать для посилення і перетворення сигналів, вони застосовуються в приводах і передачі команд через лінії зв'язку, наприклад, через Інтернет.
1.3.2. Одновимірні та багатовимірні системи
За кількістю входів та виходів бувають
одновимірні системи, у яких один вхід та один вихід (вони розглядаються в так званій класичній теорії управління);
багатовимірні системи, що мають кілька входів та/або виходів (головний предмет вивчення сучасної теорії управління).
Ми вивчатимемо лише одновимірні системи, де і об'єкт, і регулятор мають один вхідний та один вихідний сигнал. Наприклад, при управлінні кораблем за курсом можна вважати, що є одна керуюча дія (поворот керма) та одна регульована величина (курс).
Однак, насправді це не зовсім правильно. Справа в тому, що при зміні курсу змінюється також крен та диферент корабля. В одновимірній моделі ми нехтуємо цими змінами, хоча вони можуть бути дуже суттєвими. Наприклад, при різкому повороті крен може досягти неприпустимого значення. З іншого боку, для керування можна використовувати не тільки кермо, але й різні пристрої, що підрулюють, стабілізатори качки і т.п., тобто об'єкт має кілька входів. Отже, реальна система управління курсом – багатовимірна.
Дослідження багатовимірних систем - досить складне завдання і виходить за рамки цього посібника. Тому в інженерних розрахунках намагаються іноді спрощено уявити багатовимірну систему як кілька одновимірних, і часто такий метод призводить до успіху.
1.3.3. Безперервні та дискретні системи
За характером сигналів системи можуть бути
безперервними , у яких сигнали – функції безперервного часу, визначені деякому інтервалі;
дискретними , у яких використовуються дискретні сигнали (послідовності чисел), визначені лише окремі моменти часу;
© К.Ю. Поляків, 2008
безперервно-дискретними, у яких є як безперервні, і дискретні сигнали. Безперервні (або аналогові) системи зазвичай описуються диференціальними рівняннями. Це всі системи управління рухом, в яких немає комп'ютерів та інших еле-
ментів дискретної дії (мікропроцесорів, логічних інтегральних схем) Мікропроцесори та комп'ютери – це дискретні системи, оскільки в них вся інформація
мація зберігається та обробляється у дискретній формі. Комп'ютер не може обробляти безперервні сигнали, оскільки працює тільки з послідовностямичисел. Приклади дискретних систем можна знайти в економіці (період відліку – квартал чи рік) та в біології (модель «хижак-жертва»). Для їх опису застосовують різницеві рівняння.
Існують також і гібридні безперервно-дискретнісистеми, наприклад, комп'ютерні системи управління об'єктами, що рухаються (кораблями, літаками, автомобілями та ін). Вони частина елементів описується диференціальними рівняннями, а частина – різницевими. З точки зору математики це створює великі складності для їх дослідження, тому в багатьох випадках безперервно-дискретні системи зводять до спрощених суто безперервних або дискретних моделей.
1.3.4. Стаціонарні та нестаціонарні системи
Для управління дуже важливим є питання про те, чи змінюються характеристики об'єкта з часом. Системи, в яких всі параметри залишаються постійними, називаються стаціонарними, що означає «не змінюються в часі». У цьому посібнику розглядаються лише стаціонарні системи.
У практичних завданнях часто справа не так райдужна. Наприклад, ракета, що летить, витрачає паливо і за рахунок цього її маса змінюється. Таким чином, ракета – нестаціонарний об'єкт. Системи, в яких параметри об'єкта або регулятора змінюються з часом, називаються нестаціонарними. Хоча теорія нестаціонарних систем існує (формули написані), застосувати її практично не так просто.
1.3.5. Визначеність та випадковість
Найпростіший варіант – вважати, що це параметри об'єкта визначені (задані) точно, як і, як і зовнішні впливу. У цьому випадку ми говоримо про детермінованихсистемах, що розглядалися у класичній теорії управління.
Тим не менш, у реальних завданнях точних даних ми не маємо. Насамперед, це стосується зовнішніх впливів. Наприклад, для дослідження хитавиці корабля на першому етапі можна вважати, що хвиля має форму синуса відомої амплітуди та частоти. Це детермінована модель. Чи це так на практиці? Звичайно немає. За допомогою такого підходу можна отримати лише наближені, грубі результати.
За сучасними уявленнями форма хвилі наближено описується як сума синусоїд, які мають випадкові, тобто невідомі заздалегідь, частоти, амплітуди та фази. Перешкоди, шум вимірів – це також випадкові сигнали.
Системи, в яких діють випадкові обурення або параметри об'єкта, можуть змінюватися випадковим чином, називаються стохастичними(імовірнісними). Теорія стохастичних систем дозволяє отримувати лише ймовірнісні результати. Наприклад, не можна гарантувати, що відхилення корабля від курсу завжди становитиме не більше 2°, але можна спробувати забезпечити таке відхилення з деякою ймовірністю (ймовірність 99% означає, що вимога буде виконана у 99 випадках зі 100).
1.3.6. Оптимальні системи
Часто вимоги до системи можна сформулювати як завдання оптимізації. В оптимальних системах регулятор будується так, щоб забезпечити мінімум чи максимум якогось критерію якості. Потрібно пам'ятати, що вираз «оптимальна система» не означає, що вона справді ідеальна. Все визначається прийнятим критерієм – якщо його обрано вдало, система вийде хороша, якщо ні – то навпаки.
© К.Ю. Поляків, 2008
1.3.7. Особливі класи систем
Якщо параметри об'єкта або збурень відомі неточно або можуть змінюватися з часом (у нестаціонарних системах), застосовують адаптивні або саморегулюючі регулятори, в яких закон управління змінюється при зміні умов. У найпростішому випадку (коли є заздалегідь відомих режимів роботи) відбувається просте перемикання між кількома законами управління. Часто в адаптивних системах регулятор оцінює параметри об'єкта в реальному часі і змінює закон управління за заданим правилом.
Система, що самоналаштовується, яка намагається налаштувати регулятор так, щоб «знайти» максимум або мінімум якогось критерію якості, називається екстремальною (від слова екстремум, що позначає максимум або мінімум).
У багатьох сучасних побутових пристроях (наприклад, у пральних машинах) використовуються нечіткі регулятори, побудовані за принципами нечіткої логіки . Цей підхід дозволяє формалізувати людський спосіб ухвалення рішення: «якщо корабель пішов дуже праворуч, кермо потрібно сильно перекласти вліво».
Один із популярних напрямів у сучасній теорії – застосування досягнень штучного інтелекту для управління технічними системами. Регулятор будується (або лише налаштовується) на основі нейронної мережі, яку попередньо навчає людина-експерт.
© К.Ю. Поляків, 2008
2. Математичні моделі
2.1. Що потрібно знати для керування?
Мета будь-якого управління – змінити стан об'єкта належним чином (відповідно до завдання). Теорія автоматичного регулювання має відповісти на запитання: «як побудувати регулятор, який може керувати цим об'єктом так, щоб досягти мети?» Для цього розробнику необхідно знати, як система управління реагуватиме на різні впливи, тобто потрібна модель системи: об'єкта, приводу, датчиків, каналів зв'язку, збурень, шумів.
Модель – це об'єкт, який ми використовуємо вивчення іншого об'єкта (оригіналу ). Модель і оригінал мають бути у чомусь схожі, щоб висновки, зроблені щодо моделі, можна було б (з деякою ймовірністю) перенести на оригінал. Нас цікавитимуть насамперед математичні моделі, Виражені у вигляді формул. Крім того, у науці використовуються також описові (словесні), графічні, табличні та інші моделі.
2.2. Зв'язок входу та виходу
Будь-який об'єкт взаємодіє із зовнішнім середовищем за допомогою входів та виходів. Входи – це можливі на об'єкт, виходи – це сигнали, які можна виміряти. Наприклад, для електродвигуна входами можуть бути напруга живлення та навантаження, а виходами
- Частота обертання валу, температура.
Входи незалежні, вони «приходять» із довкілля. При зміні інформації на вході змінюється внутрішнє стан об'єкта(так називають його властивості, що змінюються) і, як наслідок, виходи:
вхід x |
вихід y |
|
Це означає, що існує деяке правило, яким елемент перетворює вхід x у вихід y . Це правило називається оператором. Запис y = U означає, що вихід y отриманий
внаслідок застосування оператора U до входу x.
Побудувати модель – це означає знайти оператор, який зв'язує входи та виходи. З його допомогою можна передбачити реакцію об'єкта будь-який вхідний сигнал.
Розглянемо електродвигун постійного струму. Вхід цього об'єкта – це напруга живлення (у вольтах), вихід – частота обертання (в обертах на секунду). Вважатимемо, що з напрузі 1 В частота обертання дорівнює 1 об/сек, а за напрузі 2 У – 2 об/сек, тобто частота обертання дорівнює за величиною напряжению1 . Легко бачити, що дію такого оператора можна записати як
U [x] = x.
Тепер припустимо, що цей же двигун обертає колесо і як вихід об'єкта ми вибрали число обертів колеса щодо початкового положення (у момент t = 0). У цьому випадку при рівномірному обертанні добуток x ∆ t дає нам кількість обертів за час ∆ t , тобто y (t ) = x ∆ t (тут запис y (t ) явно позначає залежність виходу від часу.
ні t). Чи можна вважати, що цією формулою ми визначили оператор U? Очевидно, що ні, тому що отримана залежність справедлива лише для постійного вхідного сигналу. Якщо напруга на вході x (t ) змінюється (все одно як!), Кут повороту запишеться у вигляді інте-
1 Звичайно, це буде справедливо лише у деякому діапазоні напруг.
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ
Федеральна державна автономна освітня установа вищої професійної освіти
"Санкт-Петербурзький державний університет аерокосмічного приладобудування"
_________________________________________________________________
М. В. Бураков
Теорія автоматичного керування.
Навчальний посібник
Санкт-Петербург
Рецензенти:
Кандидат технічних наук Д. О. Якимовський (Федеральне державне підприємство «НДІ командних приладів»). Кандидат технічних наук доцент А. А. Мартинов
(Санкт-Петербурзький державний університет аерокосмічного приладобудування)
Затверджено Редакційно-видавничою радою університету
як навчальний посібник
Бураков М.В.
Д79 Теорія автоматичного управління: навч. допомога. Частина 1/ М. В. Бураков; - СПб.: ГУАП, 2013. -258 с.: іл.
У навчальному посібнику розглядаються основи теорії автоматичного управління – базового курсу під час підготовки інженерів у сфері автоматизації та управління.
Наводяться основні поняття та принципи управління, розглядаються математичні моделі та методи аналізу та синтезу лінійних та дискретних систем управління на базі апарату передавальних функцій.
Навчальний посібник призначений для підготовки бакалаврів та магістрів за напрямом 220400 «Управління в технічних системах», а також студентів інших спеціальностей, які вивчають дисципліни «Теорія автоматичного управління» та «Основи теорії управління».
1. БАЗОВІ ПОНЯТТЯ ТА ВИЗНАЧЕННЯ |
|
1.1. Коротка історія розвитку ТАУ |
|
1.2. Основні поняття ТАУ |
|
1.3. Способи опису об'єктів управління |
|
1.4. Лінеарізація |
|
1.4. Критерії якості управління |
|
1.5. Регулятори з відхилення |
|
Запитання для самоперевірки |
|
2. ПЕРЕДАЧНІ ФУНКЦІЇ |
|
2.1. Перетворення Лапласа |
|
2.2. Поняття передавальної функції |
|
2.3. Типові динамічні ланки |
|
2.4. Тимчасові характеристики |
|
2.5. Передаточна функція системи із зворотною |
|
2.6. Приватні функції передавання |
|
2.7. Точність у встановлених режимах |
|
2.8. Перетворення структурних схем |
|
2.9. Сигнальні графи та формула Мейсона |
|
2.10. Інваріантні системи |
|
Запитання для самоперевірки |
|
3. КОРНЕВІ ОЦІНКИ СТІЙКОСТІ І КА- |
|
3.1. Необхідна і достатня умова стабільності. |
|
3.2. Алгебраїчний критерій стійкості |
|
3.3. Структурно нестійкі системи |
|
3.4. Кореневі показники якості перехідного |
|
процесу |
|
3.5. Вибір параметрів регулятора |
|
3.6. Кореневий рікограф |
Запитання для самоперевірки |
|
4. ЧАСТОТНІ МЕТОДИ АНАЛІЗУ І СИНТЕЗУ |
|
4.1. Перетворення Фур'є |
|
4.2. Логарифмічні частотні характеристики |
|
4.3. Частотні характеристики розімкнутої системи |
|
4.4. Частотні критерії стійкості |
|
4.4.1. Критерій стійкості Михайлова |
|
4.4.2. Критерій стійкості Найквіста |
|
4.4.3. Критерій Найквіста для систем із запізненням |
|
4.5. Частотні критерії якості |
|
4.5.1. Запаси стійкості |
|
4.5.2. Точність при гармонійному впливі |
|
4.6. Синтез коригувальних пристроїв |
|
4.6.1. Оцінка якості системи, що стежить за видом |
|
ЛАЧХ розімкнутої системи |
|
4.6.2. Корекція за допомогою диференціюючого |
|
пристрої |
|
4.6.3. Корекція за допомогою інтегро- |
|
диференціюючого ланцюга |
|
4.6.4. Синтез коригувального ланки загального вигляду |
|
4.7. Аналогові коригувальні ланки |
|
4.7.1. Пасивні коригувальні ланки |
|
4.7.2. Активні ланки, що коригують |
|
Запитання для самоперевірки |
|
5. ЦИФРОВІ СИСТЕМИ УПРАВЛІННЯ |
|
5.1. Аналого-цифрове та цифро-аналогове пре- |
|
розування |
|
5.2. Реалізація ЦАП та АЦП |
|
5.3. Z - перетворення |
|
5.4. Теорема про зсув |
|
5.5. Синтез цифрових систем із безперервних |
|
5.6. Стійкість дискретних систем керування |
5.7. Ідентифікація динамічного об'єкта |
|
5.7.1. Завдання ідентифікації |
|
5.7.2. Детермінований ідентифікатор |
|
5.7.3. Побудова МНК-моделі за кривою розгону |
|
Запитання для самоперевірки |
|
6. АДАПТИВНІ СИСТЕМИ УПРАВЛІННЯ |
|
6.1. Класифікація адаптивних систем |
|
6.2. Екстремальні системи керування |
|
6.3. Адаптивне керування з еталонною моделлю |
|
Запитання для самоперевірки |
|
ВИСНОВОК |
|
бібліографічний список |
− БАЗОВІ ПОНЯТТЯ ТА ВИЗНАЧЕННЯ
o Коротка історія розвитку теорії автоматично-
ського управління
Можна визначити теорію автоматичного управління як науку про методи визначення законів управління будь-якими об'єктами, що допускають реалізацію за допомогою технічних засобів.
Перші автоматичні пристрої були розроблені людиною ще в давнину, про це дозволяють судити письмові свідчення, що дійшли до нас. У роботах давньогрецьких і давньоримських вчених дано опис різних автоматичних пристроїв: годометр – автоматичний пристрій для вимірювання відстані на основі перерахунку кількості обертів колеса віза; автомати для відчинення дверей та продажу води у храмах; автоматичні театри із кулачковими механізмами; пристрій для метання стріл з автоматичною їхньою подачею. На рубежі нашої ери араби забезпечили поплавковим регулятором рівня водяний годинник (рис. 1.1).
У Середні віки набула розвитку «андроїдна» автоматика, коли конструктори-механіки створювали пристрої, що наслідують окремі дії людини. Назва «андроїд» підкреслює людиноподібність автомата. Функціонували андроїди на основі вартових механізмів.
Можна виділити кілька чинників, які викликали необхідність розробки систем управління XVII – XVIII:
1. розвиток годинної справи, викликаної потребами бурхливо розвивається мореплавання;
2. розвиток борошномельної промисловості та необхідність регулювання роботи водяних млинів;
3. винахід парової машини.
Мал. 1.1. Конструкція водяного годинника
Хоча відомо, що ще в середні віки застосовувалися відцентрові зрівнячі швидкості у водяних борошномельних млинах, першою системою управління зі зворотним зв'язком вважається регулятор температури голландця Корнеліуса Дреббеля (1600 р.). У 1675 р. X. Гюйгенс вбудував у годинник маятниковий регулятор ходу. Дені Папен 1681 р. винайшов перший регулятор тиску для парових котлів.
Парова машина стала першим об'єктом для промислових регуляторів, оскільки вона мала здатність стійко працювати як така, тобто. не мала «самовірівні-
ємо» (рис. 1.2).
Рис.1.2. Парова машина з регулятором
Першими промисловими регуляторами є автоматичний поплавковий регулятор живлення котла парової машини, побудований 1765 р. І. І. Повзуновим, і відцентровий регулятор швидкості парової машини, який у 1784 р. отримав патент Дж. Уатт (рис. 1.3).
Ці перші регулятори були системами прямого регулювання, тобто для приведення в дію регулюючих органів не були потрібні додаткові джерела енергії - чутливий елемент безпосередньо переміщав регулюючий орган (сучасні системи управління є системами непрямого регулювання, так як практично сигнал помилки недостатній за потужністю для управління регулюючим органом).
Мал. 1.3. Відцентровий регулятор Уатта.
Парова машина не випадково стала першим об'єктом для застосування техніки та теорії регулювання, так як вона не мала здатність стійко працювати сама по собі, не мала самовирівнювання.
Слід зазначити також важливість створення першого програмного пристрою керування ткацьким верстатом від перфокарти (для відтворення візерунків на килимах), побудованого в 1808 Ж. Жаккар.
Винахід Ползунова було випадковим, оскільки наприкінці 18-го століття металургійна промисловість Росії займала лідируючі позиції у світі. Надалі російські вчені та інженери продовжували робити великий внесок у розвиток теорії автоматичного управління.
Перша робота з теорії регулювання виникла 1823 р., і написана вона професором Петербурзького університету Чижовим.
У 1854 К. І. Константинов запропонував використовувати розроблений ним «електромагнітний регулятор швидкості обертання» замість конічного маятника в парових машинах. У ньому замість відцентрового механізму використовується електромагніт, що регулює впуск пари в машину. Запропонований Костянтиновим регулятор мав більшу чутливість, ніж конічний маятник.
У 1866 А. І. Шпаковський розробив регулятор для парового котла, який опалювався за допомогою форсунок. Подача палива через форсунки була пропорційна зміні тиску пари в казані. Якщо тиск падало, витрата палива через форсунки збільшувався, що призводило до підвищення температури і, як наслідок, збільшення тиску.
У 1856 р. у Москві під час коронації Олександра III було встановлено шість потужних електродугових ламп із автоматичним регулятором Шпаковського. Це був перший практично здійснений досвід виготовлення установки та тривалої експлуатації серії електромеханічних регуляторів.
З 1869-1883 років. В. Н. Чиколев розробив ряд електромеханічних регуляторів, у тому числі диференціальний регулятор для дугових ламп, який відіграв важливу роль історії техніки регулювання.
Датою народження теорії автоматичного управління (ТАУ) називають зазвичай 1868, коли вийшла у світ робота Дж. Максвелла «Про регулятори», в якій диференціальне рівняння було використано як модель регулятора.
Великий внесок у розвиток ТАУ зробив російський математик та інженер І. А. Вишнеградський. У роботі «Про загальну теорію регуляторів», опублікованій у 1876 р. він розглянув парову машину та відцентровий регулятор як єдину динамічну систему. Вишнеградський зробив найбільш практично важливі висновки щодо сталого руху систем. Він вперше ввів поняття лінеаризації диференціальних рівнянь, таким чином, значно спростивши математичний апарат дослідження.
ТЕОРІЯ АВТОМАТИЧНОГО УПРАВЛІННЯ ДЛЯ «ЧАЙНИКІВ»
К.Ю. Поляків
Санкт-Петербург
© К.Ю. Поляків, 2008
«У ВНЗ потрібно викладати матеріал на високому професійному рівні. Але оскільки цей рівень проходить значно вище голови середнього студента, я пояснюватиму на пальцях. Це не дуже професійно, проте зрозуміло».
Невідомий викладач
Передмова
Ця методика варта першого знайомства з предметом. Її завдання – пояснити «на пальцях» основні поняття теорії автоматичного регулюванняі зробити так, щоб після її прочитання ви змогли сприймати професійну літературу на цю тему. Потрібно розглядати цей посібник лише як фундамент, стартовий майданчик для серйозного вивчення серйозного предмета, який може стати дуже цікавим та цікавим.
Є сотні підручників з автоматичного керування. Але вся проблема в тому, що мозок при сприйнятті нової інформації шукає щось знайоме, за що можна зачепитися, і на цій основі прив'язати нове до вже відомих понять. Практика показує, що читати серйозні підручники для сучасного студента складно. Нема за що зачепитися. Та й за суворими науковими доказами часто вислизає суть справи, яка зазвичай є досить простою. Автор спробував «спуститися» на рівень нижче і побудувати ланцюжок від «життєвих» понять до понять теорії управління.
Виклад на кожному кроці грішить суворістю, докази не наводяться, формули використовуються лише там, де без них не можна. Математик знайде тут багато недомовленостей та недоглядів, оскільки (відповідно до цілей посібника) між суворістю та зрозумілістю вибір завжди робиться на користь зрозумілості.
Від читача потрібні невеликі попередні знання. Потрібно мати уявлення
о деяких розділах курсу вищої математики:
1) похідних та інтегралах;
2) диференціальних рівняннях;
3) лінійної алгебри, матриці;
4) комплексних числах.
Подяки
Автор висловлює глибоку вдячність д.ф.-м.н. О.М. Чурилова, к.т.н. В.М. Калініченко та к.т.н. В.О. Рибінському, які уважно прочитали попередню версію посібника та висловили багато цінних зауважень, які дозволили покращити виклад та зробити його більш зрозумілим.
© К.Ю. Поляків, 2008
ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ... |
|||
Вступ................................................. .................................................. .............................................. |
|||
Системи управління................................................ .................................................. ........................... |
|||
1.3. Які бувають системи керування? .................................................. ............................................... |
|||
М АТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ.......................................................................................................................... |
|||
2.1. Що потрібно знати для керування? .................................................. ................................................. |
|||
2.2. Зв'язок входу та виходу.............................................. .................................................. ........................... |
|||
Як будуються моделі? .................................................. .................................................. ................... |
|||
Лінійність та нелінійність............................................... .................................................. ............. |
|||
Лінеаризація рівнянь................................................ .................................................. ................... |
|||
Управління................................................. .................................................. ........................................ |
|||
3. М ОДЯГИ ЛІНІЙНИХ ОБ'ЄКТІВ..................................................................................................................... |
|||
Диференційне рівняння................................................ .................................................. ......... |
|||
3.2. Моделі у просторі станів.............................................. .................................................. .. |
|||
Перехідна функція................................................ .................................................. .......................... |
|||
Імпульсна характеристика (вагова функція) ............................................ ................................. |
|||
Передатна функція................................................ .................................................. ..................... |
|||
Перетворення Лапласа................................................ .................................................. .................. |
|||
3.7. Передатна функція та простір станів.............................................. .......................... |
|||
Частотні характеристики................................................ .................................................. .......... |
|||
Логарифмічні частотні характеристики............................................... ............................... |
|||
4. Т ІПОВІ ДИНАМІЧНІ ланки................................................................................................................ |
|||
Підсилювач................................................. .................................................. ......................................... |
|||
Аперіодична ланка................................................ .................................................. ........................ |
|||
Коливальна ланка................................................ .................................................. ......................... |
|||
Інтегруюча ланка................................................ .................................................. ....................... |
|||
Диференціюючі ланки................................................ .................................................. .............. |
|||
Запізнення................................................. .................................................. .................................... |
|||
«Зворотні» ланки.............................................. .................................................. ............................. |
|||
ЛАФЧХ складних ланок............................................... .................................................. .................. |
|||
З ТРУКТУРНІ СХЕМИ.................................................................................................................................... |
|||
Умовні позначення................................................ .................................................. ...................... |
|||
Правила перетворення................................................ .................................................. ................... |
|||
Типова одноконтурна система............................................... .................................................. ..... |
|||
А НАЛИЗ СИСТЕМ УПРАВЛІННЯ...................................................................................................................... |
|||
Вимоги до управління............................................... .................................................. ................... |
|||
Процес на виході............................................... .................................................. .............................. |
|||
Точність................................................. .................................................. ........................................... |
|||
Стійкість................................................. .................................................. .................................. |
|||
Критерії стійкості................................................ .................................................. .................. |
|||
Перехідний процес................................................ .................................................. .......................... |
|||
Частотні оцінки якості............................................... .................................................. ............ |
|||
Кореневі оцінки якості............................................... .................................................. ................ |
|||
Робастність................................................. .................................................. .................................... |
|||
З ІНТЕЗ РЕГУЛЯТОРІВ.................................................................................................................................... |
|||
Класична схема................................................ .................................................. ........................... |
|||
ПІД-регулятори............................................... .................................................. ................................ |
|||
Метод розміщення полюсів............................................... .................................................. ............. |
|||
Корекція ЛАФЧХ................................................ .................................................. ............................ |
|||
Комбіноване управління................................................ .................................................. ........... |
|||
Інваріантність................................................. .................................................. .............................. |
|||
Безліч стабілізуючих регуляторів............................................... .................................... |
|||
ВИСНОВОК ................................................. .................................................. .................................................. ..... |
|||
Л ІТЕРАТУРА ДЛЯ НАСТУПНОГО ЧИТАННЯ.......................................................................................................... |
© К.Ю. Поляків, 2008
1. Основні поняття
1.1. Вступ
З давніх-давен людина хотіла використовувати предмети і сили природи у своїх цілях, тобто керувати ними. Керувати можна неживими предметами (наприклад, перекочуючи камінь на інше місце), тваринами (дресирування), людьми (начальник – підлеглий). Безліч завдань управління у світі пов'язані з технічними системами – автомобілями, кораблями, літаками, верстатами. Наприклад, потрібно підтримувати заданий курс корабля, висоту літака, частоту обертання двигуна, температуру в холодильнику чи печі. Якщо ці завдання вирішуються без участі людини, говорять про автоматичне управління.
Теорія управління намагається відповісти питанням «як треба управляти?». До XIX століття науки про управління не існувало, хоча перші системи автоматичного управління вже були (наприклад, вітряки «навчили» розгортатися назустріч вітру). Розвиток теорії управління розпочалося у період промислової революції. Спочатку цей напрямок у науці розроблялося механіками на вирішення завдань регулювання , тобто підтримки заданого значення частоти обертання, температури, тиску у технічних пристроях (наприклад, у парових машинах). Звідси походить назва «теорія автоматичного регулювання».
Пізніше з'ясувалося, що принципи управління можна успішно застосовувати у техніці, а й у біології, економіці, громадських науках. Процеси управління та обробки інформації в системах будь-якої природи вивчає наука кібернетика. Один із її розділів, пов'язаний головним чином з технічними системами, називається теорією автоматичного управління. Крім класичних завдань регулювання, вона оптимізує закони управління, питання пристосовуваності (адаптації).
Іноді назви «теорія автоматичного керування» та «теорія автоматичного регулювання» використовуються як синоніми. Наприклад, у сучасній зарубіжній літературі ви зустрінете лише один термін – control theory.
1.2. Системи управління
1.2.1. Із чого складається система управління?
У Завданнями управління завжди є два об'єкти – керований та керуючий. Керований об'єкт зазвичай називаютьоб'єктом управлінняабо просто об'єктом, а керуючий об'єкт – регулятором. Наприклад, під час керування частотою обертання об'єкт управління – це двигун (електромотор, турбіна); у задачі стабілізації курсу корабля – корабель, занурений у воду; у завданні підтримки рівня гучності – дина-
Регулятори можуть бути збудовані на різних принципах. |
|
Найвідоміший з перших механічних регуляторів – |
|
відцентровий регулятор Уатта для стабілізації частоти |
|
обертання парової турбіни (на малюнку праворуч). Коли частота |
|
обертання збільшується, кульки розходяться через збільшення |
|
відцентрової сили. При цьому через систему важелів небагато |
|
закривається заслінка, зменшуючи потік пари на турбіну. |
|
Регулятор температури у холодильнику або термостаті – |
|
це електронна схема, яка включає режим охолодження |
|
(або нагрівання), якщо температура стає вищою (або нижче) |
|
заданою. |
|
У багатьох сучасних системах регулятори - це мікропроцесорні пристрої, ком- |
|
п'ютери. Вони успішно керують літаками і космічними кораблями без участі людини. |
© К.Ю. Поляків, 2008
ка. Сучасний автомобіль буквально «напханий» електронікою, що управляє, аж до бортових комп'ютерів.
Зазвичай регулятор діє на об'єкт управління не прямо, а через виконавчі механізми (приводи), які можуть посилювати і перетворювати сигнал управління, наприклад, електричний сигнал може «перетворюватися» на переміщення клапана, що регулює витрату палива, або поворот керма на деякий кут.
Щоб регулятор міг «бачити», що відбувається з об'єктом, потрібні датчики . За допомогою датчиків найчастіше вимірюються характеристики об'єкта, якими потрібно управляти. Крім того, якість керування можна покращити, якщо отримувати додаткову інформацію – вимірювати внутрішні властивості об'єкта.
1.2.2. Структура системи
Отже, типову систему управління входять об'єкт, регулятор, привід і датчики. Однак, набір цих елементів ще не система. Для перетворення на систему потрібні канали зв'язку, через них йде обмін інформацією між елементами. Для передачі можуть використовуватися електричний струм, повітря (пневматичні системи), рідина (гідравлічні системи), комп'ютерні мережі.
Взаємопов'язані елементи – це вже система , яка має (за рахунок зв'язків) особливі властивості, яких немає в окремих елементів і будь-якої їх комбінації.
Основна інтрига управління пов'язані з тим, що у об'єкт діє довкілля – зовнішні обурення, які «заважають» регулятору виконувати поставлене завдання Більшість обурень заздалегідь непередбачувані, тобто мають випадковий характер.
Крім того, датчики вимірюють параметри не точно, а з деякою помилкою, хай і малою. У цьому випадку говорять про «шуми вимірювань» за аналогією з шумами в радіотехніці, які спотворюють сигнали.
Підсумовуючи, можна намалювати структурну схему системи управління так:
управління |
||||||||||
регулятор |
обурення |
|||||||||
зворотна |
||||||||||
вимірювань |
Наприклад, у системі управління курсом корабля
об'єкт управління- Це сам корабель, що знаходиться у воді; для управління його курсом використовується кермо, що змінює напрямок потоку води;
регулятор - цифрова обчислювальна машина;
привід – кермовий пристрій, який посилює керуючий електричний сигнал і перетворює його на поворот керма;
датчики – вимірювальна система, що визначає фактичний курс;
зовнішні обурення– це морське хвилювання та вітер, що відхиляють корабель від заданого курсу;
шуми вимірів – це помилки датчиків.
Інформація в системі управління ніби «ходить по колу»: регулятор видає сигнал
управління на привід, що впливає безпосередньо на об'єкт; потім інформація про об'єкт через датчики повертається назад до регулятора і починається знову. Говорять, що в системі є зворотний зв'язок, тобто регулятор використовує інформацію про стан об'єкта для вироблення управління. Системи із зворотним зв'язком називають замкнутими, оскільки інформація передається по замкнутому контуру.
© К.Ю. Поляків, 2008
1.2.3. Як працює регулятор?
Регулятор порівнює сигнал («завдання», «уставку», «бажане значення») з сигналами зворотного зв'язку від датчиків і визначає неузгодженість(помилку управління) – різницю між заданим та фактичним станом. Якщо воно дорівнює нулю, жодного керування не потрібно. Якщо різниця є, регулятор видає сигнал, що управляє, який прагне звести неузгодження до нуля. Тому схему регулятора у багатьох випадках можна намалювати так:
неузгодженість |
|||||||
алгоритм |
управління |
||||||
управління |
|||||||
Зворотній зв'язок
Така схема показує управління помилкою(або за відхиленням). Це означає, що для того щоб регулятор почав діяти, потрібно, щоб керована величина відхилилася від заданого значення. Блок, позначений знаком ≠, знаходить неузгодженість. У найпростішому випадку у ньому із заданого значення віднімається сигнал зворотного зв'язку (виміряне значення).
Чи можна керувати об'єктом так, щоб не було помилок? У реальних системах – ні. Насамперед, через зовнішні впливи та шуми, які заздалегідь невідомі. Крім того, об'єкти управління мають інерційність, тобто, не можуть миттєво перейти з одного стану в інший. Можливості регулятора та приводів (тобто потужність сигналу керування) завжди обмежені, тому швидкодія системи керування (швидкість переходу на новий режим) також обмежена. Наприклад, при керуванні кораблем кут перекладки керма зазвичай не перевищує 30 - 35 °, це обмежує швидкість зміни курсу.
Ми розглянули варіант, коли зворотний зв'язок використовується зменшити різницю між заданим і фактичним станом об'єкта управління. Такий зворотний зв'язок називається негативним , тому що сигнал зворотного зв'язку віднімається з сигналу, що задає. Чи може бути навпаки? Виявляється, так. У цьому випадку зворотний зв'язок називається позитивним, він збільшує неузгодженість, тобто прагне «розкачати» систему. Насправді позитивна зворотний застосовується, наприклад, в генераторах підтримки незатухающих електричних коливань.
1.2.4. Розімкнуті системи
Чи можна керувати, не використовуючи зворотний зв'язок? В принципі можна. У цьому випадку регулятор не отримує жодної інформації про реальний стан об'єкта, тому має бути точно відомо, як цей об'єкт поводиться. Тільки тоді можна заздалегідь розрахувати, як ним потрібно управляти (побудувати потрібну програму управління). Однак не можна гарантувати, що завдання буде виконано. Такі системи називають системами програмного управлінняабо розімкнутими системамиоскільки інформація передається не по замкнутому контуру, а тільки в одному напрямку.
програма |
управління |
|||||
регулятор |
обурення |
|||||
Сліпий та глухий водій теж може вести машину. Деякий час. Поки що він пам'ятає дорогу і зможе правильно розрахувати своє місце. Поки що на шляху не зустрінуться пішоходи чи інші машини, про які він заздалегідь не може знати. З цього простого прикладу ясно, що без
© К.Ю. Поляків, 2008
зворотний зв'язок (інформації з датчиків) неможливо врахувати вплив невідомих чинників, неповноту наших знань.
Незважаючи на ці недоліки, розімкнені системи застосовуються на практиці. Наприклад інформаційне табло на вокзалі. Або найпростіша система керування двигуном, у якій не потрібно дуже точно підтримувати частоту обертання. Проте з погляду теорії управління розімкнені системи малоцікаві, і ми більше про них згадуватимемо.
1.3. Які бувають системи керування?
Автоматична система- Це система, яка працює без участі людини. Є ще автоматизованісистеми, в яких рутинні процеси (збір та аналіз інформації) виконує комп'ютер, але керує всією системою людина-оператор, яка і приймає рішення. Ми будемо далі вивчати лише автоматичні системи.
1.3.1. Завдання систем управління
Автоматичні системи керування застосовуються для вирішення трьох типів завдань:
стабілізація , тобто підтримка заданого режиму роботи, що не змінюється тривалий час (що задає сигнал – постійна, часто нуль);
програмне управління- Управління по заздалегідь відомої програмі (що сигнал задає змінюється, але заздалегідь відомий);
стеження за невідомим сигналом, що задає.
До системам стабілізації відносяться, наприклад, авторульові на кораблях (підтримка заданого курсу), системи регулювання частоти обертання турбін. Системи програмного управління широко використовуються у побутовій техніці, наприклад, у пральних машинах. Слідкуючі системи служать для посилення і перетворення сигналів, вони застосовуються в приводах і передачі команд через лінії зв'язку, наприклад, через Інтернет.
1.3.2. Одновимірні та багатовимірні системи
За кількістю входів та виходів бувають
одновимірні системи, у яких один вхід та один вихід (вони розглядаються в так званій класичній теорії управління);
багатовимірні системи, що мають кілька входів та/або виходів (головний предмет вивчення сучасної теорії управління).
Ми вивчатимемо лише одновимірні системи, де і об'єкт, і регулятор мають один вхідний та один вихідний сигнал. Наприклад, при управлінні кораблем за курсом можна вважати, що є одна керуюча дія (поворот керма) та одна регульована величина (курс).
Однак, насправді це не зовсім правильно. Справа в тому, що при зміні курсу змінюється також крен та диферент корабля. В одновимірній моделі ми нехтуємо цими змінами, хоча вони можуть бути дуже суттєвими. Наприклад, при різкому повороті крен може досягти неприпустимого значення. З іншого боку, для керування можна використовувати не тільки кермо, але й різні пристрої, що підрулюють, стабілізатори качки і т.п., тобто об'єкт має кілька входів. Отже, реальна система управління курсом – багатовимірна.
Дослідження багатовимірних систем - досить складне завдання і виходить за рамки цього посібника. Тому в інженерних розрахунках намагаються іноді спрощено уявити багатовимірну систему як кілька одновимірних, і часто такий метод призводить до успіху.
1.3.3. Безперервні та дискретні системи
За характером сигналів системи можуть бути
безперервними , у яких сигнали – функції безперервного часу, визначені деякому інтервалі;
дискретними , у яких використовуються дискретні сигнали (послідовності чисел), визначені лише окремі моменти часу;
© К.Ю. Поляків, 2008
безперервно-дискретними, у яких є як безперервні, і дискретні сигнали. Безперервні (або аналогові) системи зазвичай описуються диференціальними рівняннями. Це всі системи управління рухом, в яких немає комп'ютерів та інших еле-
ментів дискретної дії (мікропроцесорів, логічних інтегральних схем) Мікропроцесори та комп'ютери – це дискретні системи, оскільки в них вся інформація
мація зберігається та обробляється у дискретній формі. Комп'ютер не може обробляти безперервні сигнали, оскільки працює тільки з послідовностямичисел. Приклади дискретних систем можна знайти в економіці (період відліку – квартал чи рік) та в біології (модель «хижак-жертва»). Для їх опису застосовують різницеві рівняння.
Існують також і гібридні безперервно-дискретнісистеми, наприклад, комп'ютерні системи управління об'єктами, що рухаються (кораблями, літаками, автомобілями та ін). Вони частина елементів описується диференціальними рівняннями, а частина – різницевими. З точки зору математики це створює великі складності для їх дослідження, тому в багатьох випадках безперервно-дискретні системи зводять до спрощених суто безперервних або дискретних моделей.
1.3.4. Стаціонарні та нестаціонарні системи
Для управління дуже важливим є питання про те, чи змінюються характеристики об'єкта з часом. Системи, в яких всі параметри залишаються постійними, називаються стаціонарними, що означає «не змінюються в часі». У цьому посібнику розглядаються лише стаціонарні системи.
У практичних завданнях часто справа не так райдужна. Наприклад, ракета, що летить, витрачає паливо і за рахунок цього її маса змінюється. Таким чином, ракета – нестаціонарний об'єкт. Системи, в яких параметри об'єкта або регулятора змінюються з часом, називаються нестаціонарними. Хоча теорія нестаціонарних систем існує (формули написані), застосувати її практично не так просто.
1.3.5. Визначеність та випадковість
Найпростіший варіант – вважати, що це параметри об'єкта визначені (задані) точно, як і, як і зовнішні впливу. У цьому випадку ми говоримо про детермінованихсистемах, що розглядалися у класичній теорії управління.
Тим не менш, у реальних завданнях точних даних ми не маємо. Насамперед, це стосується зовнішніх впливів. Наприклад, для дослідження хитавиці корабля на першому етапі можна вважати, що хвиля має форму синуса відомої амплітуди та частоти. Це детермінована модель. Чи це так на практиці? Звичайно немає. За допомогою такого підходу можна отримати лише наближені, грубі результати.
За сучасними уявленнями форма хвилі наближено описується як сума синусоїд, які мають випадкові, тобто невідомі заздалегідь, частоти, амплітуди та фази. Перешкоди, шум вимірів – це також випадкові сигнали.
Системи, в яких діють випадкові обурення або параметри об'єкта, можуть змінюватися випадковим чином, називаються стохастичними(імовірнісними). Теорія стохастичних систем дозволяє отримувати лише ймовірнісні результати. Наприклад, не можна гарантувати, що відхилення корабля від курсу завжди становитиме не більше 2°, але можна спробувати забезпечити таке відхилення з деякою ймовірністю (ймовірність 99% означає, що вимога буде виконана у 99 випадках зі 100).
1.3.6. Оптимальні системи
Часто вимоги до системи можна сформулювати як завдання оптимізації. В оптимальних системах регулятор будується так, щоб забезпечити мінімум чи максимум якогось критерію якості. Потрібно пам'ятати, що вираз «оптимальна система» не означає, що вона справді ідеальна. Все визначається прийнятим критерієм – якщо його обрано вдало, система вийде хороша, якщо ні – то навпаки.
© К.Ю. Поляків, 2008
1.3.7. Особливі класи систем
Якщо параметри об'єкта або збурень відомі неточно або можуть змінюватися з часом (у нестаціонарних системах), застосовують адаптивні або саморегулюючі регулятори, в яких закон управління змінюється при зміні умов. У найпростішому випадку (коли є заздалегідь відомих режимів роботи) відбувається просте перемикання між кількома законами управління. Часто в адаптивних системах регулятор оцінює параметри об'єкта в реальному часі і змінює закон управління за заданим правилом.
Система, що самоналаштовується, яка намагається налаштувати регулятор так, щоб «знайти» максимум або мінімум якогось критерію якості, називається екстремальною (від слова екстремум, що позначає максимум або мінімум).
У багатьох сучасних побутових пристроях (наприклад, у пральних машинах) використовуються нечіткі регулятори, побудовані за принципами нечіткої логіки . Цей підхід дозволяє формалізувати людський спосіб ухвалення рішення: «якщо корабель пішов дуже праворуч, кермо потрібно сильно перекласти вліво».
Один із популярних напрямів у сучасній теорії – застосування досягнень штучного інтелекту для управління технічними системами. Регулятор будується (або лише налаштовується) на основі нейронної мережі, яку попередньо навчає людина-експерт.
© К.Ю. Поляків, 2008
2. Математичні моделі
2.1. Що потрібно знати для керування?
Мета будь-якого управління – змінити стан об'єкта належним чином (відповідно до завдання). Теорія автоматичного регулювання має відповісти на запитання: «як побудувати регулятор, який може керувати цим об'єктом так, щоб досягти мети?» Для цього розробнику необхідно знати, як система управління реагуватиме на різні впливи, тобто потрібна модель системи: об'єкта, приводу, датчиків, каналів зв'язку, збурень, шумів.
Модель – це об'єкт, який ми використовуємо вивчення іншого об'єкта (оригіналу ). Модель і оригінал мають бути у чомусь схожі, щоб висновки, зроблені щодо моделі, можна було б (з деякою ймовірністю) перенести на оригінал. Нас цікавитимуть насамперед математичні моделі, Виражені у вигляді формул. Крім того, у науці використовуються також описові (словесні), графічні, табличні та інші моделі.
2.2. Зв'язок входу та виходу
Будь-який об'єкт взаємодіє із зовнішнім середовищем за допомогою входів та виходів. Входи – це можливі на об'єкт, виходи – це сигнали, які можна виміряти. Наприклад, для електродвигуна входами можуть бути напруга живлення та навантаження, а виходами
- Частота обертання валу, температура.
Входи незалежні, вони «приходять» із довкілля. При зміні інформації на вході змінюється внутрішнє стан об'єкта(так називають його властивості, що змінюються) і, як наслідок, виходи:
вхід x |
вихід y |
|
Це означає, що існує деяке правило, яким елемент перетворює вхід x у вихід y . Це правило називається оператором. Запис y = U означає, що вихід y отриманий
внаслідок застосування оператора U до входу x.
Побудувати модель – це означає знайти оператор, який зв'язує входи та виходи. З його допомогою можна передбачити реакцію об'єкта будь-який вхідний сигнал.
Розглянемо електродвигун постійного струму. Вхід цього об'єкта – це напруга живлення (у вольтах), вихід – частота обертання (в обертах на секунду). Вважатимемо, що з напрузі 1 В частота обертання дорівнює 1 об/сек, а за напрузі 2 У – 2 об/сек, тобто частота обертання дорівнює за величиною напряжению1 . Легко бачити, що дію такого оператора можна записати як
U [x] = x.
Тепер припустимо, що цей же двигун обертає колесо і як вихід об'єкта ми вибрали число обертів колеса щодо початкового положення (у момент t = 0). У цьому випадку при рівномірному обертанні добуток x ∆ t дає нам кількість обертів за час ∆ t , тобто y (t ) = x ∆ t (тут запис y (t ) явно позначає залежність виходу від часу.
ні t). Чи можна вважати, що цією формулою ми визначили оператор U? Очевидно, що ні, тому що отримана залежність справедлива лише для постійного вхідного сигналу. Якщо напруга на вході x (t ) змінюється (все одно як!), Кут повороту запишеться у вигляді інте-
1 Звичайно, це буде справедливо лише у деякому діапазоні напруг.
Теорія автоматичного керування(ТАУ) – наукова дисципліна, що вивчає процеси автоматичного управління об'єктами різної фізичної природи. При цьому за допомогою математичних засобів виявляються властивості систем автоматичного керування та розробляються рекомендації щодо їх проектування.
Історія
Вперше відомості про автомати з'явилися на початку нашої ери в роботах Герона Олександрійського «Пневматика» та «Механіка», де описані автомати, створені самим Героном та його учителем Ктесібієм: пневмоавтомат для відкриття дверей храму, водяний орган, автомат для продажу святої води та ін. Ідеї Герона значно випередили своє століття і не знайшли застосування у його епоху.
Стійкість лінійних систем
Стійкість- властивість САУ повертатися в заданий або близький до нього режим після будь-якого обурення.
Стійка САУ- Система, в якій перехідні процеси є загасаючими.
Операторна форма запису лінеаризованого рівняння.
y(t) = y вуст(t)+y п= y вин(t)+y св
y вуст(y вин) - приватне рішення лінеаризованого рівняння.
y п(y св) - загальне рішення лінеаризованого рівняння як однорідного диференціального рівняння, тобто
САУ стійка, якщо перехідні процеси у n (t), викликані будь-якими збуреннями, будуть загасаючими з часом, тобто при
Вирішуючи диференціальне рівняння в загальному випадку, отримаємо комплексне коріння p i , p i+1 = ±α i ± jβ i
Кожній парі комплексно-сполученого коріння відповідає наступна складова рівняння перехідного процесу:
З отриманих результатів видно, що:
Критерії стійкості
Критерій Рауса
Для визначення стійкості системи будуються таблиці виду:
Коефіцієнти | Рядки | стовпець 1 | стовпець 2 | стовпець 3 |
---|---|---|---|---|
1 | ||||
2 | ||||
3 | ||||
4 |
Для стійкості системи необхідно, щоб усі елементи першого шпальти мали позитивні значення; якщо у першому стовпці присутні негативні елементи – система нестійка; якщо хоча б один елемент дорівнює нулю, інші позитивні, то система межі стійкості.
Критерій Гурвіца
Визначник Гурвіца
Теорема: Для стійкості замкнутої САУ необхідно і достатньо, щоб визначник Гурвіца та всі його мінори були позитивні при
Критерій Михайлова
Замінимо , де ω - кутова частота коливань, що відповідають суто уявному кореню даного характеристичного полінома.
КритерійДля стійкості лінійної системи n-го порядку необхідно і достатньо, щоб крива Михайлова, побудована в координатах, проходила послідовно через n квадрантів.
Розглянемо залежність між кривою Михайлова та знаками його коріння(α>0 і β>0)
1) Корінь характеристичного рівняння - негативне речове число
2) Корінь характеристичного рівняння - позитивне речове число
Відповідний даному кореню змножувач
3) Корінь характеристичного рівняння – комплексна пара чисел з негативною речовинною частиною
Відповідний даному кореню змножувач
4) Корінь характеристичного рівняння – комплексна пара чисел з позитивною речовинною частиною
Відповідний даному кореню змножувач
Критерій Найквіста
Критерій Найквіста – це графоаналітичний критерій. Характерною його особливістю є те, що висновок про стійкість чи нестійкість замкнутої системи робиться залежно від виду амплітудно-фазової або логарифмічних частотних характеристик розімкнутої системи.
Нехай розімкнена система представлена у вигляді полінома
тоді зробимо підстановку та отримаємо:
Для зручнішої побудови годографа при n>2 наведемо рівняння (*) до «стандартного» виду:
За такого представлення модуль A(ω) = | W(jω)| дорівнює відношенню модулів чисельника та знаменника, а аргумент (фаза) ψ(ω) - різниці їх аргументів. У свою чергу модуль твору комплексних чисел дорівнює добутку модулів, а аргумент - сумі аргументів.
Модулі та аргументи, що відповідають співмножникам передавальної функції
Помножувач | ||
---|---|---|
k | k | 0 |
p | ω | |
Після чого побудуємо годограф для допоміжної функції, для чого змінюватимемо
При , а при (оскільки n Для визначення результуючого кута повороту знайдемо різницю аргументів чисельника та знаменника Поліном чисельника допоміжної функції має той самий ступінь, що і поліном її знаменника, звідки слід, отже, результуючий кут повороту допоміжної функції дорівнює 0. відповідно, точку з координатами Частина 1. Теорія автоматичного управління (ТАУ) Лекція 1. Основні терміни та визначення ТАУ. (2 години) Основні поняття. Системи управління сучасними хіміко-технологічними процесами характеризуються великою кількістю технологічних параметрів, кількість яких може досягати кількох тисяч. Для підтримки необхідного режиму роботи, а зрештою – якості продукції, що випускається, всі ці величини необхідно підтримувати постійними або змінювати за певним законом. Фізичні величини, що визначають перебіг технологічного процесу, називаються параметрами технологічного процесу
. Наприклад, параметрами технологічного процесу може бути: температура, тиск, витрата, напруга тощо. Параметр технологічного процесу, який необхідно підтримувати постійним або змінювати за певним законом, називається регульованою величиноюабо регульованим параметром
. Значення регульованої величини в даний момент часу називається миттєвим значенням
. Значення регульованої величини, отримане в момент часу, що розглядається, на підставі даних деякого вимірювального приладу називається її виміряним значенням
. приклад 1.Схема ручного регулювання температури сушильної шафи. Потрібно вручну підтримувати температуру в сушильній шафі на рівні Т зад. Людина-оператор в залежності від показань ртутного термометра РТ включає або вимикає нагрівальний елемент Н за допомогою рубильника Р. На основі цього прикладу можна ввести визначення: Об'єкт управління
(Об'єкт регулювання, ОУ) - пристрій, необхідний режим роботи якого повинен підтримуватися ззовні спеціально організованими керуючими впливами. Управління
- Формування керуючих впливів, що забезпечують необхідний режим роботи ОУ. Регулювання
– приватний вид управління, коли завданням є забезпечення сталості будь-якої вихідний величини ОУ. Автоматичне керування
- Управління, що здійснюється без безпосередньої участі людини. Вхідний вплив(Х)– дія, що подається на вхід системи або пристрою. Вихідний вплив(Y)– вплив, який видається на виході системи або пристрою. Зовнішній вплив
- Вплив довкілля на систему. Структурна схема системи регулювання наприклад 1 зображено на рис. 1.2. приклад 3.Схема АСР температури із вимірювальним мостом. При температурі об'єкта, що дорівнює заданій, вимірювальний міст М (див. рис. 1.4) врівноважений, на вхід електронного підсилювача ЕУ сигнал не надходить і система знаходиться в рівновазі. При відхиленні температури змінюється опір терморезистора R Т і рівновага моста порушується. На вході ЕУ утворюється напруга, фаза якого залежить від знака відхилення температури від заданої. Напруга, посилена ЕУ, надходить на двигун Д, який переміщає двигун автотрансформатора АТ у відповідну сторону. При досягненні температури, яка дорівнює заданій, міст збалансується і двигун відключиться. Визначення: Вплив, що задає
(те, що вхідний вплив Х) - вплив на систему, що визначає необхідний закон зміни регульованої величини). Керуючий вплив
(u) – вплив керуючого пристрою на об'єкт управління. Керуючий пристрій
(УУ) - пристрій, який впливає на об'єкт управління з метою забезпечення необхідного режиму роботи. Обурюючий вплив
(f) - вплив, що прагне порушити необхідний функціональний зв'язок між впливом, що задає, і регульованою величиною. Помилка управління
(е = х - у) - різниця між запропонованим (х) та дійсним (у) значеннями регульованої величини. Регулятор
(Р) - комплекс пристроїв, що приєднуються до регульованого об'єкта та забезпечують автоматичну підтримку заданого значення його регульованої величини або автоматичну зміну за певним законом. Автоматична система регулювання
(АСР) - автоматична система із замкнутим ланцюгом впливу, в якому управління (u) виробляється в результаті порівняння істинного значення у із заданим значенням х. Додатковий зв'язок у структурній схемі АСР, спрямована від виходу до входу ділянки ланцюга впливів, що розглядається, називається зворотним зв'язком (ОС). Зворотний зв'язок може бути негативним або позитивним. Класифікація АСР. 1. За призначенням (за характером зміни завдання): · стабілізуюча АСР
- система, алгоритм функціонування якої містить розпорядження підтримувати регульовану величину на постійному значенні (x = const); · програмна АСР
- система, алгоритм функціонування якої містить припис змінювати регульовану величину відповідно до заздалегідь заданої функції (x змінюється програмно); · стежить АСР
- Система, алгоритм функціонування якої містить розпорядження змінювати регульовану величину залежно від заздалегідь невідомої величини на вході АСР (x = var). 2. За кількістю контурів: · одноконтурні
- що містять один контур, · багатоконтурні
- Що містять кілька контурів. 3. За кількістю регульованих величин: · одновимірні
- системи з 1 регульованою величиною, · багатовимірні
- Системи з декількома регульованими величинами. Багатовимірні АСР у свою чергу поділяються на системи: а) незв'язаного регулювання, у яких регулятори безпосередньо пов'язані й можуть взаємодіяти лише через загальний їм об'єкт управління; б) пов'язаного регулювання, у яких регулятори різних параметрів одного й того ж технологічного процесу пов'язані між собою поза об'єктом регулювання. 4. За функціональним призначенням: АСР температури, тиску, витрати, рівня, напруги і т.д. 5. За характером використовуваних керування сигналів: · безперервні, · Дискретні (релейні, імпульсні, цифрові). 6. За характером математичних співвідношень: · Лінійні, для яких справедливий принцип суперпозиції; · Нелінійні. Принцип суперпозиції
(накладення): Якщо на вхід об'єкта подається кілька вхідних дій, то реакція об'єкта на суму вхідних дій дорівнює сумі реакцій об'єкта на кожну дію окремо: L(х 1 + х 2) = L(х 1) + L(х 2), де L – лінійна функція (інтегрування, диференціювання тощо). 7. На вигляд використовуваної для регулювання енергії: · Пневматичні, · Гідравлічні, · Електричні, · Механічні та ін. 8. За принципом регулювання: · щодо відхилення
: Переважна більшість систем побудована за принципом зворотного зв'язку - регулювання відхилення (див. рис. 1.7). Елемент називається суматором. Його вихідний сигнал дорівнює сумі вхідних сигналів. Зачорнений сектор говорить про те, що цей вхідний сигнал треба брати із протилежним знаком. · з обурення
. Дані системи можуть бути використані в тому випадку, якщо є можливість вимірювання впливу, що обурює (див. рис. 1.8). На схемі позначено До - підсилювач з коефіцієнтом посилення До. · комбіновані
- поєднують у собі особливості попередніх АСР. Даний спосіб (див. рис. 1.9) досягає високої якості управління, проте його застосування обмежено тим, що вплив f, що обурює, не завжди можна виміряти. Основні моделі. Роботу системи регулювання можна описати словесно. Так, у п. 1.1 описано систему регулювання температури сушильного шафи. Словесний опис допомагає зрозуміти принцип дії системи, її призначення, особливості функціонування тощо. Однак, що найголовніше, воно не дає кількісних оцінок якості регулювання, тому не придатне для вивчення характеристик систем та побудови систем автоматизованого керування. Замість нього в ТАУ використовуються точніші математичні методи опису властивостей систем: · Статичні характеристики, · динамічні характеристики, · диференційне рівняння, · Передавальні функції, · Частотні характеристики. У будь-якій з цих моделей система може бути представлена у вигляді ланки, що має вхідні дії Х, обурення F та вихідні дії Y Під впливом цих впливів вихідна величина може бути змінена. При цьому при вступі на вхід системи нового завдання вона повинна забезпечити із заданим ступенем точності нове значення регульованої величини в режимі, що встановився. Встановлений режим
- це режим, у якому розбіжність між істинним значенням регульованої величини та її заданим значенням буде в часі. Статичні показники. Статичною характеристикою
елемента називається залежність значень вихідної величини, що встановилися, від значення величини на вході системи, тобто. y вуст = j(х). Статичну характеристику (див. рис. 1.11) часто зображують графічно як кривої у(х). Статичним
називається елемент, у якого при постійному вхідному вплив з часом встановлюється постійна вихідна величина. Наприклад, при подачі на вхід нагрівача різних значень напруги він нагріватиметься до відповідних цих напруг значень температури. Астатичним
називається елемент, у якого при постійному вхідному вплив сигнал на виході безперервно зростає з постійною швидкістю, прискоренням і т.д. Лінійним статичним елементом
називається безінерційний елемент, що володіє лінійною статичною характеристикою: у вуст = К * х + а 0. Як видно, статична характеристика елемента в даному випадку має вигляд прямої з коефіцієнтом нахилу. Лінійні статичні характеристики, на відміну від нелінійних, зручніші для вивчення завдяки своїй простоті. Якщо модель об'єкта нелінійна, зазвичай її перетворюють до лінійного виду шляхом лінеаризації. САУ називається статичної
, якщо за постійному вхідному впливі помилка управління е прагне постійного значення, залежить від величини впливу. САУ називається астатичної
якщо при постійному вхідному впливі помилка управління прагне до нуля незалежно від величини впливу. Перетворення Лапласа. Дослідження АСР значно спрощується під час використання прикладних математичних методів операційного обчислення. Наприклад, функціонування деякої системи описується ДК виду , (2.1) де х і у - вхідна та вихідна величини. Якщо дане рівняння замість x(t) і y(t) підставити функції X(s) і Y(s) комплексного змінного s такі, що і , (2.2) то вихідне ДУ при нульових початкових умовах рівносильне лінійному рівнянню алгебри a 2 s 2 Y(s) + a 1 s Y(s) + a 0 Y(s) = b 1 X(s) + b 0 X(s). Такий перехід від ДУ до рівня алгебри називається перетворенням Лапласа
, формули (2.2) відповідно формулами перетворення Лапласа
, а отримане рівняння - операторним рівнянням
. Нові функції X(s) та Y(s) називаються зображеннями
x(t) і y(t) Лапласом, тоді як x(t) і y(t) є оригіналами
по відношенню до X(s) та Y(s). Перехід від однієї моделі до іншої досить простий і полягає в заміні знаків диференціалів на оператори sn, знаків інтегралів на множники, а самих x(t) та y(t) - зображеннями X(s) та Y(s). Для зворотного переходу від операторного рівняння до функцій від часу використовується метод зворотного перетворення Лапласа
. Загальна формула зворотного перетворення Лапласа: , (2.3) де f(t) – оригінал, F(jw) – зображення при s = jw, j – уявна одиниця, w – частота. Ця формула досить складна, тому були розроблені спеціальні таблиці (див. табл. 1.1 і 1.2), в які зведені функції F(s), що найчастіше зустрічаються, і їх оригінали f(t). Вони дозволяють відмовитись від прямого використання формули (2.3). Таблиця 1.2 - Перетворення Лапласа Таблиця 1.2 - Формули зворотного перетворення Лапласа (додаток) Закон зміни вихідного сигналу зазвичай є функцією, яку потрібно знайти, а вхідний сигнал, як правило, відомий. Деякі типові вхідні сигнали було розглянуто у п. 2.3. Тут наводяться їх зображення: одиничний ступінчастий вплив має зображення X(s) = , дельта-функція X(s) = 1, лінійний вплив X(s) = . приклад. Рішення дистанційного керування з використанням перетворень Лапласа. Припустимо, вхідний сигнал має форму одиничного ступінчастого впливу, тобто. x(t) = 1. Тоді зображення вхідного сигналу X(s) = . Проводимо перетворення вихідного ДК по Лапласу і підставляємо X(s): s 2 Y + 5sY + 6Y = 2sX + 12X, s 2 Y + 5sY + 6Y = 2s + 12 Y(s 3 + 5s 2 + 6s) = 2s + 12. Визначається вираз для Y: . Оригінал отриманої функції відсутня у таблиці оригіналів та зображень. Для вирішення завдання його пошуку дріб розбивається на суму простих дробів з урахуванням того, що знаменник може бути представлений у вигляді s(s + 2)(s + 3): = = + + = Порівнюючи вийшов дріб з вихідним, можна скласти систему з трьох рівнянь з трьома невідомими: М 1 + М 2 + М 3 = 0 M 1 = 2 5 . М1+3. М2+2. М 3 = 2 à M 2 = -4 6 . М 1 = 12 М 3 = 2 Отже, дріб можна подати як суму трьох дробів: = - + . Тепер, використовуючи табличні функції, визначається оригінал вихідної функції: y(t) = 2 - 4 . e-2 t + 2 . e -3 t. ¨ Передавальні функції. Приклади типових ланок. Ланкою системи називається її елемент, що має певні властивості в динамічному відношенні. Ланки систем регулювання можуть мати різну фізичну основу (електричні, пневматичні, механічні та ін. Ланки), але відноситься до однієї групи. Співвідношення вхідних та вихідних сигналів у ланках однієї групи описуються однаковими передатними функціями. Найпростіші типові ланки: · Підсилювальне, · Інтегруюче, · диференціююче, · аперіодичне, · коливальне, · Запізнювальне. 1) Підсилювальна ланка. Ланка посилює вхідний сигнал в раз. Рівняння ланки у = К * х, передатна функція W (s) = К. Параметр К називається коефіцієнтом посилення
. Вихідний сигнал такої ланки точно повторює вхідний сигнал, посилений в раз (див. рис. 1.15). Прикладами таких ланок є: механічні передачі, датчики, безінерційні підсилювачі та ін. 2) Інтегрує. 2.1) Ідеальне інтегруюче. Вихідна величина ідеальної інтегруючої ланки пропорційна інтегралу вхідної величини. ; W(s) = При подачі на вхід ланки впливу вихідний сигнал зростає (див. рис. 1.16). Це ланка астатичне, тобто. не має встановленого режиму. 2.2) Реальне інтегрує. Передатна функція цієї ланки має вигляд: Перехідна характеристика на відміну ідеального ланки є кривою (див. рис. 1.17). Прикладом інтегруючого ланки є двигун постійного струму з незалежним збудженням, якщо як вхідний вплив прийняти напругу живлення статора, а вихідного - кут повороту ротора. 3) Диференціююче. 3.1) Ідеальне диференціююче. Вихідна величина пропорційна похідній за часом від вхідної: При ступінчастому вхідному сигналі вихідний сигнал є імпульсом (d-функцію). 3.2) Реальне диференціююче. Ідеальні ланки, що диференціюють, фізично не реалізовані. Більшість об'єктів, які є диференціюючими ланками, відносяться до реальних диференційних ланок. Перехідна характеристика та передатна функція цієї ланки мають вигляд: 4) Аперіодичне (інерційне). Цій ланці відповідають ДК та ПФ виду: ; W(s) = . Визначимо характер зміни вихідної величини цієї ланки під час подачі на вхід ступінчастої дії величини х 0 . Зображення ступінчастої дії: X(s) = . Тоді зображення вихідної величини: Y(s) = W(s) X(s) = K x 0 . Розкладемо дріб на прості: = + = = - = - Оригінал першого дробу за таблицею: L -1 ( ) = 1, другий: Тоді остаточно отримуємо: y(t) = K x 0 (1 -). Постійна Т називається постійного часу. Більшість теплових об'єктів є аперіодичними ланками. Наприклад, при подачі на вхід електричної печі напруги її температура змінюватиметься за аналогічним законом (див. рис. 1.19). 5) Коливальна ланкамає ДК та ПФ виду , W(s) = . При подачі на вхід ступінчастої дії амплітудою х 0 на перехідна крива буде мати один із двох видів: аперіодичний (при Т 1 ³ 2Т 2) або коливальний (при Т 1< 2Т 2). 6) Запізнювальне. y(t) = x(t - t), W(s) = e - t s. Вихідна величина у точності повторює вхідну величину х з деяким запізненням t. Приклади: рух вантажу конвеєром, рух рідини трубопроводом. З'єднання ланок. Оскільки досліджуваний об'єкт з метою спрощення аналізу функціонування розбитий нами на ланки, після визначення передавальних функцій кожному за ланки постає завдання об'єднання в одну передавальну функцію об'єкта. Вид передавальної функції об'єкта залежить від послідовності з'єднання ланок: 1) Послідовне з'єднання. W про = W 1 . W 2 . W 3 … При послідовному поєднанні ланок їх передатні функції перемножуються. 2) Паралельне з'єднання. W про = W 1 + W 2 + W 3 + … При паралельному з'єднанні ланок їх передатні функції складаються. 3) Зворотній зв'язок Передатна функція за завданням (х): «+» відповідає негативній ОС, «-» – позитивною. Для визначення передавальних функцій об'єктів, що мають складніші з'єднання ланок, використовують або послідовне укрупнення схеми, або перетворюють за формулою Мезона. Передавальні функції АСР. Для дослідження та розрахунку структурну схему АСР шляхом еквівалентних перетворень призводять до найпростішого стандартного вигляду «об'єкт – регулятор». Це необхідно, по-перше, для того, щоб визначити математичні залежності в системі, і, по-друге, як правило, всі інженерні методи розрахунку та визначення параметрів налаштування регуляторів застосовані для такої стандартної структури. Загалом будь-яка одновимірна АСР з головним зворотним зв'язком шляхом поступового укрупнення ланок може бути приведена до такого виду. Якщо вихід системи не подавати на її вхід, то ми отримаємо розімкнену систему регулювання, передатна функція якої визначається як добуток: W ¥ = W p . W y (W p – ПФ регулятора, W y – ПФ об'єкта управління). Тобто послідовність ланок W p і W y може бути замінена однією ланкою з W . Передавальну функцію замкнутої системи прийнято позначати як Ф(s). Вона може бути виражена через W ¥ : Дана передавальна функція Ф з (s) визначає залежність у від х і називається передатною функцією замкнутої системи по каналу впливу, що задає (за завданням). Для АСР існують також передавальні функції іншими каналами: Ф e (s) = = - помилково, Ф (s) = = - з обурення. Оскільки передавальна функція розімкнутої системи є у випадку дробно-раціональної функцією виду W ¥ = , то передатні функції замкнутої системи може бути перетворені: Ф з (s) = = , Ф e (s) = = . Як видно, ці передатні функції відрізняються лише виразами чисельників. Вираз знаменника називається характеристичним виразом замкнутої системиі позначається як D з (s) = A(s) + B(s), у той час як вираз, що знаходиться в чисельнику передавальної функції розімкнутої системи W , називається характеристичним виразом розімкнутої системи B(s). Частотні властивості. Приклади ЛЧХ. 1. Фільтр низьких частот (ФНЧ) ЛАЧХ ЛФЧХ Приклад ланцюга Фільтр низьких частот призначений для придушення високочастотних дій. 2. Фільтр високих частот (ФВЧ) ЛАЧХ ЛФЧХ Приклад ланцюга Фільтр високих частот призначений для зменшення низькочастотних впливів. 3. Загороджувальний фільтр. Загороджувальний фільтр пригнічує лише певний діапазон частот ЛАЧХ та ЛФЧХ Приклад ланцюга Критерії стійкості. Стійкість. Важливим показником АСР є стійкість, оскільки основне її призначення полягає у підтримці заданого постійного значення регульованого параметра чи зміна за певним законом. При відхиленні регульованого параметра від заданої величини (наприклад, під дією обурення чи зміни завдання) регулятор впливає систему таким чином, щоб ліквідувати це відхилення. Якщо система внаслідок цього впливу повертається у вихідний стан або перетворюється на інший рівноважний стан, то така система називається стійкою
. Якщо ж виникають коливання з зростаючою амплітудою або відбувається монотонне збільшення помилки е, то система називається нестійкою
. Для того, щоб визначити, чи стійка система ні, використовуються критерії стійкості: 1) кореневий критерій, 2) критерій Стодоли, 3) критерій Гурвіца, 4) критерій Найквіста, 5) критерій Михайлова та ін. Перші два критерії є необхідними критеріями стійкості окремих ланок та розімкнутих систем. Критерій Гурвіца є алгебраїчним та розроблений для визначення стійкості замкнутих систем без запізнення. Останні два критерії відносяться до групи частотних критеріїв, оскільки визначають стійкість замкнутих систем за частотними характеристиками. Їх особливістю є можливість застосування до замкнутих систем із запізненням, якими є переважна більшість систем керування. Кореневий критерій. Кореневий критерій визначає стійкість системи на вигляд передавальної функції. Динамічною характеристикою системи, що описує основні поведінкові властивості, є характеристичний поліном, що знаходиться у знаменнику передавальної функції. Шляхом прирівнювання знаменника до нуля можна отримати характеристичне рівняння, по коріння якого визначити стійкість. Коріння характеристичного рівняння може бути як дійсні, і комплексні й у визначення стійкості відкладаються на комплексної площині (див. рис. 1.34). (Символом позначені корені рівняння). Види коренів характеристичного рівняння: Дійсні: позитивні (корінь №1); негативні (2); нульові (3); Комплексні комплексні пов'язані (4); чисто уявні (5); По кратності коріння буває: поодинокі (1, 2, 3); пов'язані (4, 5): s i = a ± jw; кратні (6) s i = s i +1 = … Кореневий критерій формулюється так: Лінійна АСР стійка, якщо все коріння характеристичного рівняння лежить у лівій напівплощині. Якщо хоча б один корінь знаходиться на уявній осі, яка є межею стійкості, то кажуть, що система знаходиться на межі стійкості. Якщо хоча б один корінь знаходиться у правій напівплощині (незалежно від числа коренів у лівій), то система є нестійкою. Іншими словами, все дійсне коріння та дійсні частини комплексного коріння мають бути негативними. Інакше система нестійка. Приклад 3.1.Передатна функція системи має вигляд: . Характеристичне рівняння: s3+2s2+2.25s+1.25=0. Коріння: s 1 = -1; s 2 = -0,5 + j; s 3 = -0,5 – j. Отже система стійка. ¨ Критерій Стодоли. Цей критерій є наслідком попереднього і формулюється так: Лінійна система стійка, якщо всі коефіцієнти характеристичного полінома позитивні. Тобто, передаточна з прикладу 3.1 за критерієм Стодола відповідає стійкій системі. Критерій Гурвіца. Критерій Гурвіца працює з характерним поліномом замкнутої системи. Як відомо, структурна схема АСР помилково має вигляд (див. рис.). W p - передавальна функція регулятора, W y – передатна функція об'єкта управління. Визначимо передатну функцію для прямого зв'язку (передавальну функцію розімкнутої системи, див. п. 2.6.4): W ¥ = W p W y . . Як правило, передавальна функція розімкнутої системи має дробово-раціональний вигляд: . Тоді після підстановки та перетворення отримуємо: . Звідси випливає, що характеристичний поліном замкнутої системи (ХПЗС) можна визначити як суму чисельника та знаменника W ¥ : D з (s) = A(s) + B(s). Для визначення стійкості по Гурвіцу будується матриця таким чином, щоб по головній діагоналі були розташовані коефіцієнти ХПЗЗ a n +1 по a 0 . Праворуч і ліворуч від неї записуються коефіцієнти з індексами через 2 (a 0 , a 2 , a 4 … чи a 1 , a 3 , a 5 …). Тоді для стійкої системи необхідно і достатньо, щоб визначник і всі головні діагональні мінори матриці були більшими за нуль. Якщо хоча б один визначник дорівнюватиме нулю, то система буде перебувати на межі стійкості. Якщо хоча б один визначник буде негативним, то система нестійка незалежно від числа позитивних або нульових визначників. приклад.Дана передатна функція розімкнутої системи . Потрібно визначити стійкість замкнутої системи за критерієм Гурвіца. Для цього визначається ХПЗЗ: D(s) = A(s) + B(s) = 2s 4 + 3s 3 + s 2 + 2s 3 + 9s 2 + 6s + 1 = 2s 4 + 5s 3 + 10s 2 + 6s + 1. Оскільки ступінь ХПЗС дорівнює n = 4, то матриця матиме розмір 4х4. Коефіцієнти ХПЗС дорівнюють а 4 = 2, а 3 = 5, а 2 = 10, а 1 = 6, а 0 = 1. Матриця має вигляд: (Зверніть увагу на подібність рядків матриці: 1 з 3 та 2 з 4). Визначники: Δ 1 = 5 > 0, , Δ 4 = 1 * Δ 3 = 1 * 209 > 0. Оскільки всі визначники є позитивними, то АСР стійка. ♦ Критерій Михайлова. Описані вище критерії стійкості не працюють, якщо передатна функція системи має запізнення, тобто може бути записана у вигляді , де t - запізнення. І тут характеристичне вираз замкнутої системи поліномом перестав бути його коріння визначити неможливо. Для визначення стійкості у разі використовуються частотні критерії Михайлова і Найквіста. Порядок застосування критерію Михайлова: 1) Записується характеристичний вираз замкнутої системи: D з (s) = A (s) + B (s). e-t s.
Мал. 1.3
Оригінал x(t) Зображення X(s)
d-функція
t
t 2
t n
e - a t
a. x(t) a. X(s)
x(t - a) X(s) . e - a s
s n. X(s)